2021-08-17 圣 诞 节 的 复 习

CDQ 分治

CDQ 分治是一种分治算法废话，大部分时候用于解决偏序问题，或者优化含有偏序形式的一些转移方程。

首先要知道，什么事偏序问题，即是一些物体含有若干属性 $a_i$，$b_i$，$c_i$…
要求满足满足对于每个属性都有一个大小关系约束的数对 $(i,j)$ 的数量，形如：

$a_i<a_j$ 或者 $a_i>a_j$ …

$b_i<b_j$ 或者 $b_i>b_j$ …

$c_i<c_j$ 或者 $c_i>c_j$ …
…

要学习 CDQ 分治，就需要先复习一下什么是归并排序。

归并排序的主要步骤分为两步：归、并。

归：把一个大区间 $[l,r]$ 分成 $[l,mid]$ 和 $[mid+1,r]$。继续递归求解，使得每个子区间有序。

并：双指针扫两个子区间，可以扫一遍让 $[l,r]$ 有序，如此以来可以 $O(nlo{g}_{2}n)$ 解决问题吊打快排。

二维偏序

一个很经典的二维偏序就是逆序对，我们重新审视一下逆序对的形式：

$i{d}_i<i{d}_j$（$i{d}_i=i$）

$a_i>a_j$

这里dark♂以用各种数据结构去搞，但是现在我们又知道了一种新的方法：CDQ 分治（说句闲话，虽然说理论上 CDQ 分治是分治算法，但很多时候它（她？）被当成数据结构来使用。

什么是 CDQ 分治？大体来说就是对于区间 $[l,r]$ 分为 $[l,mid]$ 和 $[mid+1,r]$ 分别求解，然后计算 $[l,mid]$ 对 $[mid+1,r]$ 的贡献。

前面一句是不是和归并排序很像？所以 CDQ 分治大概写出来也和归并排序差别不大。

说回这个问题，考虑有一个区间 $[l,r]$，它的两个子区间分别的逆序对已经计算出来了并且有序，此时右区间对于左区间已经天然满足了约束 $1$。考虑合并这两个区间时，怎么计算右区间对左区间的贡献。

我们如何使得大区间有序？使用两个指针 $i,j$ 分别扫两个区间，如果 $a_i>a_j$ 就先插入 $j$，否则插入 $i$。注意到了吗？我们的第二个约束 $a_i>a_j$ 出现了！，如果 $a_i>a_j$，那么 $a_j<a_k(i\le k\le mid)$，所以 $a_j$ 对左区间的贡献就是 $mid-i+1$，问题解决了！

如果 CDQ 只能解决这种普及组问题（云南省选：你礼貌吗？），那实在是太拉了，下面的几个例子也许可以展示下 CDQ 的厉害之处

三维偏序

也许应该用一个更文艺的名字：陌上花开。

给定 $n$ 个数，每个数有 $a_i,b_i,c_i$ 三个属性，求解有多少个数对 $(i,j)$ 满足：

$a_i\le a_j$

$b_i\le b_j$

$c_i\le c_j$

怎么搞呢？

考虑一维一维的降维打击，如何降掉一个维度？最简单的办法是使其有序，我们先按 $a_i$ 升序排列。然后套路的讨论 $[l,r]$ 这个区间，假定我们计算了 $[l,mid]$ 和 $[mid+1,r]$ 并且使得这两个子区间以 $b_i$ 有序，我们此时知道了那些信息呢？

• $a_i<a_j(i\in [l,mid],j\in [mid+1,r])$。
• 子区间 $b_i$ 有序。

考虑怎么算贡献。

首先两个区间的 $a_i$ 显然满足要求。

由于 $b_i$ 有序，所以考虑按之前说的方法插入，当 $b_i\le b_j$ 时满足了约束 2，终于我们只剩下一个约束，但似乎我们也没有统计这个约束的方法了？怎么可能！对右区间维护一个关于 $c_i$ 的权值树状数组，每次出现 $b_i\le b_j$，查询树状数组即可。