强化学习
这一章会讲DQN算法，并且用TD算法来训练DQN。Value-Based Reinforcement Learning-DQN
前言
说明一下：这是我的一个学习笔记，课程链接如下：最易懂的强化学习课程
公众号：AI那些事
一、Action-Value Functions
我们回顾一下Action-Value Functions:
这些R都是环境给的Reward奖励，每当agent做出一个动作，环境就会更新一个状态，并且给一个奖励R，每一个奖励R都依赖前一个状态和动作，所以Return依赖t时刻开始所有的动作和所有的状态，未来的状态A和S都是随机变量，动作A的随机性来自policy函数π，动作是agent根据函数π随机抽样得到的，状态S的随机性来自于状态转移函数p，新的状态是根据函数p随机抽样得到的，未来所有的动作和状态都是随机的，Ut依赖于这些动作和状态，因此Ut也是随机的，Ut的值可以反映出来未来奖励的总和，所以我们想了解Ut的大小，由于Ut是一个随机变量，在t时刻我们并不知道Ut的值，我们可以对Ut求期望，这样就可以排除掉Ut中的随机性，这个期望是关于未来所有的动作A和状态S求的，期望消除了S和A的随机变量，只留下了At和St两个变量，通过求期望我们得到了Qπ函数，它被称为Action-Value function 动作价值函数，Qπ和策略函数π有关，和St和At也有关，未来的随机性都被期望所消除了,Qπ只依赖当前的动作At和状态St，Qπ可以反映出当前状态St下做动作At的好坏程度，我们想要进行一般消除策略函数π，我们可以根据Qπ对π求最大化得到最优动作价值函数Q*（最优动作价值函数）
Q* 告诉我们不管用什么样的策略π要使agent在当前状态st下做动作at，那么回报Ut的期望顶多就是Q*(st,at)，不会更好，Q* 函数与policy函数π无关，只要agent做的动作a那么Q*(st,at)就是最好的结果了，哪怕之后你把策略函数π改进的更好，你获得的回报也不会比Q*(st,at)更好。
说的更简单一点Q* 函数告诉我们，基于当前状态st做出动作at的好坏程度，所以Q* 函数可以指导agent做决策，agent观测到当前的状态st，Q* 函数可以给当前状态进行打分，比如向上跳是3000分，向左是2000分，向右是1000分，agent可以根据分数来做决策，既然向上跳的分数最高是3000分agent就应该向上跳，这样期望回报才会最大化。
二、DQN
2.1 游戏中agent的目标是什么？
主要目标是打赢游戏，既然目标定下来了，那么agent就要努力的实现目标，假设Q* 函数是知道的，那么agent该怎么做决策呢？
2.2 agent如何做决策？
决策就是选出最优动作，那什么才是最优动作呢，我们刚才说Q* 函数可以给所有的动作打分，每个动作a都有一个分数，最好的动作a就是分数最高的那个动作，我做一个更加通俗的解释：Q* 函数就像一个先知一样，它能预见未来的结果，比如你问先知，现在有a,b,c三支股票，我该把我的钱用来买哪一支股票呢？未来是充满随机性的，什么都可能发生，如蝴蝶效应，所以先知没有办法给你一个确定的答案，只能告诉你平均值，先知告诉你，从平均值来看，A股票涨了10倍，B股票涨了2倍，C股票跌了一半，先知还告诉你实际发生的情况和平均值并不一样，那么你该买哪一支股票呢？我们很定会选择A股票，因为它能涨10倍。
2.3 如何理解Q* 函数呢？
我们可以把Q* 当做一个先知，它能够告诉你每一个动作带来的平均回报，你该听先知的话，选平均回报最高的那个动作，我们希望有Q* 这样一个先知，agent可以靠Q* 的指点来做决策，这样agent就像开了挂一样。但实际上我们没有Q* 函数，价值学习的基本想法就是学习一个函数来近似Q* ，我们不可能近似出一个万能的先知，但是对于超级玛丽这种游戏学习出来一个先知并不难，要是我玩了10w次超级玛丽，我就跟先知一样了，看一眼屏幕就告诉你这一步是什么操作才是最好的。
2.5 DQN打游戏？
DQN是一种价值学习的方法，用一个神经网络去近似Q* 函数，我们将这个神经网络记为Q(s,a;w)，神经网络的参数是w,输入是状态s，输出是很多数值，这些数值是对所有很能的动作的打分，每一个动作对应一个分数，我们通过奖励来学习神经网络。这个神经网络给动作的打分就会逐渐改进。打分会越来越准，如果让神经网络玩几百万次超级玛丽，这个神经网络就跟先知一样了。
DQN就是一个这样的神经网络，对于不同的问题DQN的结构可能会不一样，我这里举个例子，如果是玩超级玛丽，可以把屏幕上的画面进行输入，用一个卷积层将图片变为特征向量，最后用几个全连接层把特征映射到一个输出的向量，这个输出的向量就是对动作的打分，向量每一个元素对应一个动作，在超级玛丽的例子里面有左右上三个动作，所以输出的向量是三维的，agent会做得分最高的动作，所以我们只要把DQN训练好，就可以用DQN自动控制超级玛丽打游戏。
用DQN控制agent打游戏，当前观测到状态st，用DQN把st作为输入，给所有的动作打分，选出分数最高的动作作为at，agent执行at这个动作后，环境会改变状态，用状态转移函数p来随机抽一个状态st+1，环境告诉我们这一步的奖励rt，奖励可以是正的可以是负的也可以是0，奖励就是强化学习中的监督信号，DQN要靠奖励进行训练，有了新的状态st+1，DQN再对所有的动作打分，agent选择分数最高的动作，作为at+1，agent执行at+1后，环境会再更新状态st+2，还会再给一个奖励rt+1，然后还是重复这一过程，让DQN给动作打分，让agent选择分数最高的动作来执行，然后环境再更新状态s再给奖励rt+2，不断重复这一过程直到游戏结束。
三、如何训练DQN?
我们这里采用TD算法
3.1 TD算法
TD算法不是那么容易理解，所以我用一个例子来阐述：
假设：我要从纽约开车到亚特兰大，我有一个模型Q，参数是W，他可以预测出开车出行的时间开销，我现在要从纽约出发了，这是Q告诉我，要开车1000min，才能到亚特兰大，这个模型一开始不是很准确，或者是纯随机的，但是随着用这个模型的人越来越多，得到越来越来数据跟多训练，这个模型就会越来越准，会像谷歌地图一样准确。
问题是这样的，我需要什么数据呢，得到这些数据我该怎么更新模型参数呢？
最简单的办法是，首先，出发之前，让模型做一个预测记作q，模型告诉我，从纽约到亚特兰大要花1000min，所以q=1000，预测过后我就出发了，但当我到亚特兰大的时候我只用了860min，这里的q是模型的预测，而y是我真实的开销，于是我把y作为target，q和y不一样，q比y大了140min，这就说明我的模型预测有了偏差，比我实际的y要多，这就造成了loss损失。损失定义为q和y的平方差。记作l，我们对损失l关于模型参数W求导，然后把倒数关于链式法则展开l是q的函数，q是W的函数，所以这之间可以用链式法则求导，结果就是(q-y) * q函数对W的倒数。梯度求出来了，我们就能根据梯度下降来更新模型参数W，新的参数Wt+1为：
假如我们用Wt+1代替Wt那么预测值将会更加接近真实值y=860，这是因为梯度下降减小了loss让预测值离真实值更近了，这种算法我必须完成整个旅途才能对模型进行一次更新。
我问个问题，假如我走到半路我就不走了，那我还有办法对模型进行更新吗？
我从纽约开车去亚特兰大会经过华盛顿DC，假如我到DC的时候，车子出故障了，我就去不了亚特兰大了，那我有没有可能使用这一段旅途去改进模型呢？
其实是可以的，我从出发的时刻做了预测，模型说从纽约开车到亚特兰大要花1000分钟，这个1000就是模型的估计，当我开车到DC的时候我一看花了300分钟（真实观测），然后模型又预测我还需要花600min才能到达亚特兰大。
回顾一下，一开始模型告诉我，从纽约到亚特兰大需要花1000min。而现在我到DC花了300min，模型又告诉我，我还需要花600min才能到达亚特兰大，根据模型新的预测我知道我到达亚特兰大的总时间900min，比原来快了100min，在TD算法里面我们将这个新的估计900min叫做TD target
TD target虽然也是一个虽然也是个估计，但未必是实际情况，但是它要比最初的1000min要更可靠，最初的估计纯粹是一个估计，无事实成分，虽然TD target也是一个估计但是它有事实成分，当我越接近亚特兰大，TD target就越接近真实值。
用TD target的话我不需要跑完整个路程去知道真实的时间开销，我到了DC我得到TD target=900，我就可以更新模型参数了，我假如y=900就是真实观测，我把y作为target，损失函数就是：最开始预测的模型参数 1000和TD target差的平方，这里Q(W)和y的差我们称为TD error。
整个模型更新如下：
刚才我们学了TD算法，有了TD算法即使不完成旅途也能更新模型参数，把TD算法用来学习DQN是相同的道理，我不需要打完游戏就能更新游戏的参数。
3.2 TD算法训练DQN
怎样才能使用TD算法来学习DQN呢？
刚才的例子里面要用到这样一个公式：
&ems p; 公式的意思是纽约到亚特兰大的时间（估计）约等于纽约到DC（真实时间）+ DC到亚特兰大的时间（估计），有上述公式才能实现TD算法：
在深度强化学习中也有这样一个公式：
等式左边是T时刻的估计，这是未来总和的期望相当于纽约到亚特兰大的总时间，等式右边有一项rt是真实的奖励，第二项是DQN在t+1时刻做的估计，相当于DC到亚特兰大的估计时间，接下来，我总结一下为什么强化学习有这个公式：
回顾一下折扣回报：
这里的R是奖励。γ是一个介于0-1之间的折扣率，我们对这个公式进行处理，将有γ的项提取一个γ得到：
括号里的内容是什么呢？我们再用一下折扣回报U的定义，不难发现括号里面就是Ut+1因此我们得到一个等式：
这个等式反应了相邻两个折扣之间的关系。
现在我们要把TD算法用到DQN上，在t时刻DQN输出的值Q(st,at;w)是对Ut做出的估计，这就像我从纽约出发前，模型做的预测，告诉我，纽约到亚特兰大的总时间。
在下一时刻DQN输出的值Q(st+1,at+1;w)是对Ut+1做出的估计，这就我开车到DC，模型预测DC到亚特兰大的时间。
我们知道Ut=Rt+γ * Ut+1，所以Ut的期望约等于Rt加上Ut+1的期望，所以我们能够得到这样一个关系，DQN在t时刻做出的预测：
四、训练步骤
有了prediction和TD target我们就能更新DQN的模型参数了：
在t时刻，模型做出了预测Q(st,at;w)，这里的st是当前的状态，at是已经做出的动作，wt是当时的模型参数。
到了t+1时刻，我们观测到真实的奖励rt，还观测到新的状态st+1,有了st+1，我们就能用DQN算出下一个动作at+1了，在t+1时刻我们知道了rt，st+1，at+1的值，这时候我们就能计算TD target记作yt，t+1时刻的动作at+1是怎么算出来的呢，DQN对每一个动作打分，分数最高的那个动作就被选出来作为at+1，所以呢。Q(st+1,at+1;wt)就是对Q函数关于a求最大化。
我们将两者差的平方l做为loss:
然后算lt关于模型参数w的导数，作梯度下降来更新模型参数，做梯度下降是为了使loss减小
总的来说所有步骤就是这样的：
六、总结
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