エルミート二次H行列と通常の行列
一般化線形空間で説明したエルミート二次形式は、線形代数で説明した実際の二次形式の一般化と見なすことができます。
最初に、線形代数で実際の2次形式を学習するというアイデアを確認して、類推と拡張をより明確に行えるようにします。
実二次形式では、最初に定義について説明します→次に、各二次形式を行列に対応させて、実対称行列を取得します。
したがって、二次形式の関連する問題または定理を表現するときは、多項式を使用できます。説明に使用され、マトリックス言語も説明に使用できます。
実際の対称行列の場合、次の3つの質問に注意を払うことがよくあります。
- 実対称行列の標準形式（各2次形式は、可逆線形変換によって2乗項のみを含む2次形式に変換できます）
- 実対称行列の標準形式の一意性（慣性の定理）
- 実二次形式の正定値
1.エルミート行列とエルミート二次形式
1.定義
上記では、2次形式と行列の間に1対1の対応を確立しました。
実際の二次形式の学習アイデアに従って、次に、この二次形式（または対応する行列）が満たすプロパティの種類を分析します。
次のパートでは、H二次形式（H行列）の性質について詳しく説明します。簡単な結論は次のとおりです。
- H行列の主対角要素はすべて実数です
A H = Aであるため、ij共役= a jiが存在するはずです。次に、i = jの場合、ii = a ii共役が存在し、主対角上の要素がすべて実数であることを示します。
- 行列Aは実数行列である場合、条件A H = Aに縮退Tことを示し= A、実際の二次行列はH行列の特別な場合です。
H行列は実数行列であると判断でき、次のような多くの優れた特性をもたらすことができ
ます
。①実数行列の固有値はすべて実数である②実数行列の固有ベクトルは異なる固有値に属します互いに直交している③すべての
実数行列には、直交行列を介して対角行列に変換できます。
上記の結論はHアレイに拡張され、Hアレイの対応するプロパティが取得されます。
2.自然
（1）定理1：H行列の固有値はすべて実数です
[証明]
H行列上のpsの特性と命題の証明のほとんどは、実際の2次形式を議論するために中国の線形代数で使用されている証明方法から直接借りることができます。
[1]：タイトルの要件に応じて、Aの関係書き込みH = Aは、H行列によって満たさを、そしてAの対応する固有値と固有ベクトルを設定する
[2]：式Aη=λについて0乗算η、 η同時に左に両側H
[3]：式の右側に、λ係数0をもたらすことができる最前線に
[4]：式の左側に、Aを交換AとH、および共役転置演算のプロパティを使用して変換します。数値λの場合、共役転置の0の本質は共役を取ることです
[5]。ηのため、方程式の左辺と右辺が比較されます。Hベクトル内積の定義であり、ηは、ゼロベクトルでないηのでη H η≠0、内装同時にことができます。
（2）定理2：H行列の異なる固有値に属する固有ベクトルは互いに直交しています
[証明]
ps最初に、ベクトルの直交性とベクトルの内積の関係を確認しましょう。2つのベクターは、α、βにC 、N、もしα⊥β↔<α、β> =β H α= 0
[1]：質問の意味によれば、行列Aのために、設定された2つの異なる固有値とその対応する固有ベクトル
[2]：Aηについて1 =λ 1 η 1、式の両辺は、η乗算される2 H
[3]：式の右辺が簡素化され、そしてλ係数1がされている前述した
[4] ：方程式の左辺はジェーンを減らしたもので、使用される手法は定義1の証明と同じです。
[5]：方程式の左右の辺が等しくなければならないため、及びλ 1 ≠λ 2は、ηことのみ可能である2 Hは、 η 1 = 0。
（3）定理3：Aは、H行列である場合、UことUは、ユニタリ行列が存在しなければならないH AUは対角行列であります
[証明]
直線生成における実数の二次形式の結論を比較します。「Aが実数の対称行列の場合、Q T AQ =Λとなる直交行列Qが存在する必要があります。」
ここで2つの一般化関係、ユニタリを把握します。行列は正です交差行列の拡張; H行列は実対称行列の拡張です。
ps定理3は、線生成またはシューアの補題のアイデアによって証明できます。ここでは後者を使用します。シューアの補題の説明、証明、および適用がわからない場合は、「[行列理論]行列」に進むことができます。（2） "
[1]の同様の標準形式：シューアの補題によれば、すべての複素数フィールド行列Aには対応する単一行列Uがあり、上三角行列になり
ます。上三角行列はRpsに設定されます。次に、Aを対角化できることを証明する必要がある場合は、R H = R
[2]であることを証明するだけで済みます。Rの定義と共役転置演算の性質に従って、対応する結論を導き出すことができます。
注：定理3は必要性を保証するだけですが、十分性（右から左に導き出される）は真ではありません。反例は次のとおりです。
行列Aの場合、対応する行列Uは対角であることがわかりますが、行列A対角要素が実数ではないため、H行列ではありません
結論の拡張：
Uはユニタリ行列であるため、U H = U -1が存在する必要があります。したがって、元の定理はU -1 AU =Λと書くこともできます。つまり、Aを対角化できます。
- Λの主対角要素は行列Aの固有値です
- ユニタリ行列Uの各列は、各固有値に対応する行列Aの固有ベクトルです。
psまた、U行列の各列はC n空間の正規直交ベクトル基底のセットであるため、行列Uから検出される固有ベクトルのセットはペアワイズ直交単位ベクトルです。
- Aはn次のH行列です→Aはn個のペアワイズ直交単位固有ベクトルを持ちます
2.通常の配列
H行列の定理3についてより詳細な議論を行いました。また、行列がH行列であるという事実は、行列が対角化されるための十分条件にすぎないこともわかっています。 「行列が対角化される」ための十分かつ必要な条件。
1.定義
A∈C仮定のn×n、A場合H A = AA Hは、その後、Aが正常マトリックス。
これは、特定の行列とその共役転置行列の乗算演算が可換であることを意味します。
一般的な正規行列の例：H行列、ユニタリ行列、逆H行列（A H = -A）
2.定理
（1）Aが上三角行列と正規行列の両方である場合、Aは対角行列でなければなりません。
【証明】
数学的帰納法のアイデアを使用して証明します。
①dim= 1の場合、明らかに単一の要素は上三角行列であり、これも正規行列です。
②dim= n-1のときに結論が真であると仮定すると、つまり、次数n-1の特定の行列が上三角行列であり、正規である場合、その行列は対角行列である必要があります。
③次に、dim = nの場合について説明します。n次の行列が上三角行列で規則的であることがわかったので、行列が対角であることを証明する必要が
あります。n次の与えられた上三角行列Aに対して、そのブロック形式書き込み11が単一の要素であるが、αは、行ベクトルであり、θは、全てゼロの列ベクトルであり、A 1は、次数n-1の上三角行列です。
知られていることによれば、Aも同時に正規行列であるため、A Hも書き出され、AAHとAH Aが計算され、計算結果は同じに対応するはずです。
左上のブロックで、存在ααであるべきであるH = 0、及びαは、行ベクトルであるため、そう<α、α> = 0→α=θ;
ブロックにおける右下隅に、なぜならα= θ、すべてのα- Hの結果行列αはゼロであり、得られる。1 H 1 = 1 。1つのHします。
行列Aの我々の以前のブロックによれば、A 1は上三角行列である。上記の式の導出によれば、A 1は、通常の行列であり、帰納法の仮定によれば、我々はAことを知っているので、1はまた、対角でありますマトリックス。
行列Aのブロック形式を振り返ると、αはゼロベクトルであることがわかっており、A 1も対角行列であることがわかっており、右上隅のブロックもすべてゼロであるため、行列Aも対角行列です。
したがって、数学的帰納法は完了です。
（2）A∈C n×nの正規行列↔ユニタリは対角行列に類似しているが
特定の行列が正規行列であると判断するための必要十分条件が与えられます
十分：
[1]は、Aは対角行列と同様単一で知ることが、あなたはAと対角行列に類似行列方程式を記述し、得ることができるの形態A行列およびA Hの行列
それぞれ[2]：計算A H及びAそれぞれ左乗算と右乗算は、2つの結果が唯一ΛΛ、相応に等しくなければならHとΛ H Λが等しいです。
psとΛは対角行列であり、任意の2つの対角行列の乗算は可換です。
必要性：
[1]：シューアの補題によれば、任意の行列Aについて、ユニタリ変換によって上三角行列Rに変換できます。書き込みのための対応する式R行列及びR Hの行列。
[2]：RとR Hの左乗算と右乗算の結果を計算します。行列Aは正規行列であるため、A H A = AA Hであるため、置換後にR H R = RR Hを取得できます。これは、次のことを示しています。 R行列これも正規配列です。
ので、Rは上三角行列であり、Rは、通常の行列であり、Rは、対角行列です。
要約すると、A行列は、対角行列を取得するためのユニタリ変換によって取得できることがわかりました。つまり、A行列は対角行列に似ています。
重要性：通常の配列と対角配列の間に接続が確立されます。
対角行列には多くの優れた特性があることがわかっています。後で正規行列のいくつかの特性や命題について説明するときは、ユニタリ変換を使用して対角行列に変換して説明できます。
【例】-12つの正規行列が類似していることを証明するための必要十分条件は、それらが同じ特性多項式を持っていることです。
以前に2つの行列の類似性について説明したとき、行列が類似している場合、それらは同じ固有値（特性多項式、固有値）を持っている必要があることを知っていましたが、その逆は必ずしも当てはまりません。
この結論から、「正規行列」の制限条件を追加した後、同じ特性多項式が必要十分条件として促進されることがわかります。
[1]：2つの一般的な行列が類似しているため、特性多項式も推定できるため、この結論の必要性は証明されなくなりました。
[2]：ユニタリ変換が正常行列A上で実行され、そしてλの主対角要素（固有値）を有する対角行列iは（iは1,2 = ...、n）を得ることができる。
[3]：ユニタリ正規行列B変換では、対応する対角行列を取得することもできます。
二つの行列は、（それらが同じ固有値を有することを意味する）と同じ特性多項式を有することが知られているので、差λ Iおよびu iは要素のみのオーダーであるが。ために二対のための要素の唯一異なる順序でコーナー配列、それは類似している必要があります。
証明書が完成しました。
【例】-2タイトルは下の写真をご覧ください
読者がマトリックス理論シリーズのブログ投稿を順番に読む場合、上の写真の証明の質問に精通している必要があります。
正規行列Aの場合、結論1の必要性と結論2の十分性を得ることができます。行列Aが「正規行列」によって制限されるようになったため、必要十分条件として結論の強度が強化されました。
- 結論1の必要性の証明については、「[行列理論]同様の標準型の行列（1）」の「最小多項式」の部分の演習例を参照してください。
- 結論2の十分性（ゼロ行列の累乗はゼロ行列です）は明らかなので、繰り返しません。
結論1の十分性の証明：
psスクリーンショットは、番号1、2、および3をマークするのを忘れています。番号はボックスの上から下の順序でカウントされます。
[1]：Aは正規行列であるため、定理によれば
、Aは単一に対角行列に変換できます[2]：Aの固有値は0または1であるため、対角行列の主対角Λ要素0のみが存在するので、0または1であることができる2 = 0、1 2 = 1は、対角行列もΛ有する2 =Λ
[3]：計算A 2ユニタリ行列の定義と対角の特性に応じて行列Λ、そして最後にA 2 = Aを簡略化でき、証明が完了します。
結論2の必要性の証拠は：
[1]：Aは正常行列であるため、Aは一体対角行列に変換することができる
[2]：Aは冪零行列であるので、K = O、手段λ kはそれはAのゼロ多項式、「ゼロ多項式のゼロ点は行列の候補固有値です」、行列Aの固有値はすべて0です。これは、同様のユニタリAを持つ対角行列もゼロ行列であることを意味します。 。
[3]：A =uΛuに代入Λ= O HはA = Oを取得します