1.ウォールドの方程式
ましょう（X n）がN∈N（x_nに関する）_ {}n∈ℕ（Xn個）。N ∈ N実数値の独立した同一分布の（iid）確率変数のシーケンスであり、NNNは、シーケンス（X n）n∈N（X_n）_ {n∈ℕ}に依存しない非負の整数値確率変数です。（Xn個）。N ∈ N。そのNNを仮定しますNとXn X_nバツn個有限の期待があります。その後、
2.ヴァルトのマーチンゲール
確率論では、エイブラハムウォールドにちなんで名付けられ、より一般的には幾何ブラウン運動として知られているウォルドのマーチンゲールは、
任意の実数値λの形式の確率過程です。ここで、Wtはウィーナー過程です。プロセスはマーチンゲールです。
2.1ウィーナー過程
数学では、ウィーナー過程は、アメリカの数学者ノーバート・ウィーナーが1次元ブラウン運動の数学的特性を調査したことに敬意を表して名付けられた実数値の連続時間確率過程です。[1] スコットランドの植物学者ロバート・ブラウンが最初に観察した同じ名前の物理的プロセスとの歴史的なつながりから、ブラウン運動とも呼ばれます。これは、最もよく知られているレビー過程（定常的な独立増分を伴うcàdlàg確率過程）の1つであり、純粋な応用数学、経済学、数理ファイナンス、進化生物学、および物理学で頻繁に発生します。
ウィーナー過程は、純粋数学と応用数学の両方で重要な役割を果たします。純粋数学では、ウィーナー過程は連続時間マルチンゲールの研究を引き起こしました。これは、より複雑な確率過程を説明できる重要なプロセスです。そのため、確率計算、拡散過程、さらにはポテンシャル理論においても重要な役割を果たします。これは、シュラム・レヴナー進化の推進プロセスです。応用数学では、ウィーナー過程はホワイトノイズガウス過程の積分を表すために使用されるため、電子工学におけるノイズ（ブラウニアンノイズを参照）、フィルタリング理論における機器エラー、および制御理論における外乱のモデルとして役立ちます。
ウィーナー過程は、数理科学全体に適用されます。物理学では、ブラウン運動、流体に浮遊する微粒子の拡散、およびフォッカープランク方程式とランジュバン方程式を介した他のタイプの拡散を研究するために使用されます。また、量子力学の厳密な経路積分定式化（ファインマン-カッツ公式により、シュレディンガー方程式の解はウィーナー過程で表すことができます）および物理宇宙論における永遠のインフレーションの研究の基礎を形成します。また、金融の数学的理論、特にブラックショールズオプション価格モデルでも顕著です。
3.ウォルトの定理
Waldの定理：
レッツ{N X、N≥1} \ {x_nに関する、N \ GEQ 1 \}{
Xn個、n≥1 }は、iid確率変数シーケンスE [X 1] <+∞E[X_1] <+∞です。そして[ X1]<+ ∞、rは正の整数値を持つ確率変数、E r <+∞Er<+∞E r<+ ∞、およびすべてのn≥1について、r = nn \ geq 1、{r = n}n≥1 、r=nおよび{Xn + 1、X n + 2……} \ {X_ {n + 1}、X_ {n +2}……\}{
XN + 1、バツN + 2…… }相互に独立している場合、E ∑ rn = 1 X nl <+∞E\ sum_r n = 1 Xnl <+∞E∑Rn=1 X n l<+ ∞、ANDE[X 1 + X 2 +…+ X rl] = E r E x 1 E [X_1 + X_2 +…+ Xrl] = ErEx1そして[ X1+バツ2+…+X r l ]=E r E x 1
https://en.wikipedia.org/wiki/Wald%27s_equation
https://en.wikipedia.org/wiki/Wiener_process#Brownian_martingales
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BB%B4%E7 ％BA％B3％E8％BF％87％E7％A8％8B