Geodesicは、3次元オブジェクトの表面上の2点間の最短距離を見つけることです。航空機や船の水路の設計など、ジオデシックラインの特定の用途は非常に広いです。まず、2次元平面上の2点間のラインセグメントが最短であることがわかっていますが、3次元に切り替えると、オブジェクトを貫通して最短距離を見つけることができないため、これを実現できません。したがって、表面上の最短距離を見つける方法を見つける必要があります。曲面はやや抽象的で、扱いにくい道がたくさんあるので見つけにくいようです。
実際には、一枚の紙を想像してみてください（厚さが無視できると仮定します）。平らにして絶対的な2次元状態にするか、さまざまな形に折りたたんで3次元状態にすることができます。このように考えると、物事は簡単になります。紙の厚さに関係なく、紙が平らな状態にあり、紙の異なる位置に2つのポイントがあると仮定すると、2つのポイント間の最短距離を簡単に見つけることができます。次に、紙をさまざまな形に折ります。現時点では面は異なりますが、2点間の最短距離は元の線のままです：面の面積はどのように折りたたまれても同じままであるためです。
したがって、ジオデシックラインを見つけるための鍵は、サーフェスを平面に変換するステップです。計算の用語はパラメータ化と呼ばれるので、あまり説明しません。サーフェスを2次元サーフェスにパラメータ化した後、計算によって導関数を取得し、最後に2次元を3次元に変換し直すことができます。
数学的言語表現
測地線の方程式
でリーマン多様体MとメトリックテンソルG、長さL [：連続微分曲線γの、B ]→ Mは、によって定義されます
リーマン多様体で測地線を定義するもう1つの同等の方法は、次のアクションまたはエネルギー汎関数の最小値として測地線を定義することです。
次に、関数Eのオイラー-ラグランジュ運動方程式は、次のローカル座標で与えられます。
どこ
メートル法のクリストッフェル記号
あるクリストッフェル記号メトリックのは。これが測地線方程式です。
幾何学的で直感的な表現
言い換えると
1.曲面の幾何学に関連するまたは関与するADJ張几何非（測地学、測地学も参照）
2.N曲面または平面上の2点間の最短線短程線（測地線とも呼ばれます）
コンパクトで単連結のリーマン多様体の無限閉測地線の存在。
コンパクトで単一接続されていないリーマンマニホールド上に無限に多くの閉じたジオデシックラインが存在することに問題はありますか？
Geodesics on smooth surface have many good geometric properties and there are equivalent partial differential equations and analytical methods solving it.
测地线在光滑曲面上有很好的几何性质，也有相应的测地线偏微分方程表达以及一些解析的方法来求解。
参考资料
Geodesic Deviation：https://ion.uwinnipeg.ca/~vincent/4500.6-001/Cosmology/GeodesicDeviation.htm
https://www.zhihu.com/question/22274518/answer/42849207
https://www.markushanke.net/tag/geodesic-equation/