テンソル

テンソルは、ベクトルとマトリックスの概念を拡張したものです。スカラーは0次テンソル、ベクトルは1次テンソル、マトリックスは2次テンソル、3次テンソルは立方体マトリックスのようなものです。

テンソルは、いくつかのベクトル、スカラー、および他のテンサー間の線形関係を表すために使用できる多重線形関数です。

すべての物理量をスカラーとベクトルで完全に表現することはできないため、テンサーが出現する理由があります。そのため、物理学者が使用する数学的量の概念を拡張して、テンサーが表示されるようにする必要があります。テンソルが重要である理由は、座標系の選択に依存しない必要があるすべての物理法則を満たすことができるためです。

Tensor（Tensor）はベクトル空間で定義され、いくつかの二重空間は、座標| n- |次元空間、| n- |成分量が1である、多重線形マップのデカルト積です。各コンポーネントは座標の関数であり、座標変換中に、これらのコンポーネントも特定のルールに従って線形に変換されます。rはテンソルのランクまたは順序と呼ばれます（マトリックスのランクおよび順序とは関係ありません）。

で感同型、ゼロ次テンソルは（R = 0）であるスカラー（スカラー）、一次テンソル（R = 1）であるベクトル（R = 2）である（ベクトル）、及び二次テンソルなる行列（マトリックス）。たとえば、3次元空間の場合、r = 1のときのテンソルは次のベクトルです：（x、y、z）。変換方法が異なるため、テンサーは共変テンサー（Covariant Tensor、下部のインデックス）、Contravariant Tensor（Contravariant Tensor、上部のインデックス）、Mixed Tensor（上部のインジケーターと下部のインデックス）に分けられます。）3つのカテゴリ。

数学、テンソルは、広義には、幾何学的エンティティ、または「量」です。テンソルの概念には、スカラー、ベクトル、線形演算子が含まれます。テンソルは、スカラーの配列として表される座標系で表すことができますが、「参照システムの選択に依存しない」と定義されています。テンソルは物理学と工学において非常に重要です。たとえば、拡散テンソルイメージングでは、さまざまな方向の水に対する臓器の透過性の差を表すテンソルを使用して、脳のスキャンを生成できます。おそらく最も重要な工学的例は、応力テンソルとひずみテンソルであり、どちらも2次テンサーです。一般的な線形材料の場合、それらの間の関係は4次弾性テンソルによって決定されます。

テンサーはコンポーネントの多次元配列で表すことができますが、テンサー理論の重要性は、特定の数のインデックス付きコンポーネントが必要であるというだけでなく、量をテンサーと呼ぶことの意味をさらに説明することです。特に、座標変換中、テンサーのコンポーネント値は特定の変換ルールに従います。テンサーの抽象的な理論は、線形代数の分岐であり、現在は多重線形代数と呼ばれています。

「テンサー」という用語は、1846年にウィリアムロンハミルトンによって最初に導入されましたが、彼は現在モジュールと呼ばれているオブジェクトを指すためにこの用語を使用しました。この単語の現代的な意味は、1899年にWaldemarVogtによって最初に使用されました。

この概念は、1900年のLevi-Civitaの古典的な記事「AbsoluteDifferential 」に続いて、1890年にGregorioRicci-Culbastroによって「AbsoluteDifferentialGeometry」という見出しで開発されました（それがイタリア語で出版されたことは多くの数学者に知られており、他の翻訳がその後出版されました。導入アインシュタインの一般相対性理論の周りに1915年、テンソル計算は、より広い認識を得。一般的な相対性は完全にテンソル言語で表現されます。アインシュタインはレヴィ・チビタ自身から多くのテンソル言語を学びました（実際にはマルセル・グロスマン、彼は幾何学者であるETHチューリッヒのアインシュタインの同級生でした、また、アインシュタインのメンターであり、テンソル言語で役立つ友人です-AbrahamPaisの「Subtleisthe Lord」を参照）、非常に熱心に学びました。ただし、テンサーは、ひずみテンサーなどの連続力学などの他の分野でも使用されます（線形弾性を参照）。

「テンサー」という用語は、しばしば省略されたテンソルフィールドとして使用され、テンソルフィールドは各ポイント張で与えられた大きさの多様体であることに注意してください。テンソルフィールドをよりよく理解するには、最初にテンサーの基本的な考え方を理解する必要があります。

テンサーを視覚的かつ直感的に理解する

Below is the diagram that describes the Tensor's dimensions in a very efficient way.

Now let's get a little bit knowledge about the notation of Tensors

The tensor notation is similar to the metrics notation. A capital letter represents the tensor, and the lower letter with subscript integer represents scalar values within the tensor.

https://www.javatpoint.com/pytorch-tensors

符号约定

下标标记法

求和约定

关于自由标号

同一方程式中，各张量的自由标号相同，即同阶标号字母相同。

关于Kronecker delta (δij)符号

张量的基本运算

https://www.cnblogs.com/arxive/p/4967486.html

引力场

https://www.youtube.com/watch?v=kyzSofggsqg

https://dev.to/juancarlospaco/tensors-for-busy-people-315k

How it looks like on Code?.

Scalar

letmyscalar=42

Scalar can be a variety of things, usually numeric values, to keep things simple and easy to understand we will use an integer here, 42 is our Scalar.

Vector

letmyvector=[1,2,3]

Vector is a collection of items, we continue using integers, it can be seen on the code as an array or list, you can draw it as a Rank 1 Vector.

Matrix

letmymatrix=[[1,2,3],[4,5,6],]

We continue adding dimensions then we end up with the Matrix, a 2D Tensor, can be simplified on code as a list with lists inside.

Tensor

letmytensor=[[[1,2,3],[4,5,6],],[[7,8,9],[10,11,12],],]

Wow, we reached the crazy cube, a multiple dimensions array of integers,

we need to convert this jam of lists into a Tensor object!.

Tensor Arraymancer

importarraymancerletmytensor=[[[1,2,3],[4,5,6],],[[7,8,9],[10,11,12],],].toTensor

Done, congrats you coded your first Tensor!.

Tensor can be categorized by rank, i.e. how many "rows and columns they have."

Rank 0: Scalar/Number

Rank 1: Vector

Rank 2: NxN matrix

Rank >= 3: Tensor

I did a visualization of these ranks below

Why are tensors important though?

Well, engineers use them a lot when dealing with the forces and stresses on an object.

Relativists use them to package equations like the Einstein Field Equations which would otherwise be (4x4)16 equations! Wow!

How many equations do you think the Riemann Curvature Tensor below can package?

In the field of Physics and Engineering, as a tool, tensor and tensor algebra widely used. We can say it is a set of techniques in machine learning in the operation and training of deep learning models can be described regarding tensors.