サブマトリックス合計（UCFローカルプログラミングコンテスト2019（練習）、2ポイント単調スタック）

1.トピックリンク

\ quad サブマトリックスの合計

2.トピックの主なアイデア

\ quad サイズR×CR \ timesCを与える$R\times \times C$の行列では、サブ行列を選択する必要があります。サブ行列の合計はSS以上です。$S$の条件で、サブマトリックスの最小サイズを出力します。

\ quad $1\le R、C、R\times \times C\le 10^5、-10^9\le S、長方形配列要素要素\le 10^9$

3.分析

\ quad マトリックス要素は負になる可能性があるため、ルーラーは実行可能ではありません。

\ quad 暴力を考えると、最初にiiを使用できます$私は$始まる行を列挙し、使用$j$は行の終わりを列挙し、列を圧縮してから接頭辞の合計を実行します（答えは配列b [] b []に格納され$b\left[\right]$）、次にkkを使用します$k$各kkについて、列をスキャンします$k$は$O（C）$スキャンの時間の複雑さは答えを更新します。合計の時間の複雑さは$O（（R\times \times C{）}^2）$。

\ quad 暴力行為の時間的冗長性はO（C）O（C）にあることがわかります$O（C）$もう一度スキャンして回答を更新します。

\ quad 暴力的な慣行では、各$k$、[1、k] [1、k]に値を設定します$[1、k]$ 1つのllを選択します$l$、$b\left[k\right]-b\left[l\right]\ge S$の条件の下で、最小のllを選択します$l$。

\ quad 実際、b [st []] b [st []]を維持でき$b\left[st\right[\left]\right]$単調に増加する単調なスタックのメンテナンス$l$。したがって、単調なスタックでは$st\left[\right]$内、$st[]が$インクリメントされ、$b\left[st\right[\left]\right]$が増加するため、$b[k]の$場合、$b\left[k\right]-b\left[l^{\ast }\right]\ge S$の$l^{\ast }$是正$st\left[\right]$$の$プレフィックス。次に、単調なスタックに分割して、b [k] − b [l ∗]≥Sb[k] -b [l ^ *] \ geqSを満たすことができます。$b\left[k\right]-b\left[l^{\ast }\right]\ge S$最大の$l$。

\ quad 合計時間の複雑さは$O（min（R、C）\times \times R\times \times C）$。

4.コードの実装

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int M = (int)1e5;
const ll inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const ll mod = (ll)1e9 + 9;
const double eps = 1e-6;

int R, C; ll S;
vector < vector<ll> > v;
ll b[M + 5];
int st[M + 5], tp;

int main()
{
    
    
//    freopen("input.txt", "r", stdin);
//    freopen("output.txt", "w", stdout);
    scanf("%d %d %lld", &R, &C, &S);
    if(R <= C)
    {
    
    
        v.resize(R + 1); for(int i = 0; i <= R; ++i) v[i].resize(C + 1);
        for(int i = 1; i <= R; ++i) for(int j = 1; j <= C; ++j) scanf("%lld", &v[i][j]);
    }
    else
    {
    
    
        v.resize(C + 1); for(int i = 0; i <= C; ++i) v[i].resize(R + 1);
        for(int i = 1; i <= R; ++i) for(int j = 1; j <= C; ++j) scanf("%lld", &v[j][i]);
        swap(R, C);
    }
    for(int i = 1; i <= R; ++i) for(int j = 1; j <= C; ++j) v[i][j] += v[i - 1][j];
    int l, r, mid; ll mi = inf;
    for(int i = 1; i <= R; ++i)
    {
    
    
        for(int j = i; j <= R; ++j)
        {
    
    
            for(int k = 1; k <= C; ++k) b[k] = b[k - 1] + v[j][k] - v[i - 1][k];
            tp = 0;
            for(int k = 1; k <= C; ++k)
            {
    
    
                l = 0, r = tp;
                while(l < r)
                {
    
    
                    mid = (l + r + 1) >> 1;
                    if(b[k] - b[st[mid]] >= S)  l = mid;
                    else                        r = mid - 1;
                }
                if(b[k] - b[st[r]] >= S) mi = min(mi, 1ll * (j - i + 1) * (k - st[r]));
                while(tp && b[k] <= b[st[tp]]) --tp;
                st[++tp] = k;
            }
        }
    }
    printf("%lld\n", mi == inf ? -1 : mi);
    return 0;
}