TJOI2017コークス（Quick Matrix Power）

説明

ロボットは1から始まります$第一$都市に。ロボットには3つの動作があります。その場所に留まること、次の都市の隣にいること、そして自己破壊することです。毎秒ランダムに動作をトリガーします。今すぐ絵を与え、後に尋ねる$t$秒でロボットのアクションの数はいくつですか？

$1<t\le 10^9、1\le N\le 30、0<M<100$

解決

マップが非常に小さいため、最初に隣接行列を作成します。所定の位置に停止するには、$f_{私は、私}=1.$自己破壊の場合、仮想ノードを構築できます$0$、次にすべての点を有向エッジで接続します。つまり、$f_{私は、0}=1$。

dpのプロセスを検討し、$g_{I、J、K}$スレーブ$私$から$jをされ$てしまっ$k-$ stepプラン$の数、$ kkを見つけることができます$k$次元はロールアウトできます。次に、初期状態は$g_{I、J}=f_{I、J}$。フロイドのアイデアを使用してに転送

$$f_{I、J}=\underset{k=1}{\overset{n個}{\Sigma }}{f}_{I、K}\times f_{K、J}$$

これは行列の乗算であるため、行列はすぐに指数化されます。

時間の複雑さ$O（n^{\mathrm{３}}logt）$。

コード

マトリックス高速パワーのテンプレートを掛ける

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 100 + 5, INF = 0x3f3f3f3f, mod = 1e9 + 7;
inline int read() {
    
    
	int x = 0, f = 0; char ch = 0;
	while (!isdigit(ch)) f |= ch == '-', ch = getchar();
	while (isdigit(ch)) x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48), ch = getchar();
	return f ? -x : x;
}
int n;
struct mat {
    
    
	int m[N][N];
	mat() {
    
    
		memset(m, 0, sizeof(m));
		for (int i = 0; i < N; i++) m[i][i] = 1;
	}
};


mat mul(mat a, mat b) {
    
    
	mat c;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
    
    
			c.m[i][j] = 0; //Mention! 
			for (int k = 1; k <= n; k++) 
				c.m[i][j] += a.m[i][k] * b.m[k][j] % mod;
			c.m[i][j] %= mod;	
		}
	return c;
}
mat ksm(mat a, int k) {
    
    
	mat res;
	while (k) {
    
    
		if (k & 1) res = mul(res, a);
		k >>= 1;
		a = mul(a, a);
	}
	return res;
}
signed main() {
    
    
	n = read(); int k = read();
	
	mat a; 
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= n; j++)
			a.m[i][j] = read();
	mat ans = ksm(a, k);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
		for (int j = 1; j <= n; j++)
			printf("%lld ", ans.m[i][j]);
		puts("");
	}		
	return 0;
}