动态规划刷题day01（1-n组二叉搜索树）

leetcode 96. 不同的二叉搜索树

给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例：

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:
 
   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

思路：考虑动态规划思维，假如n=1有一种，n=2在n=1的基础上可以在其右边放，2种，n=3的时候，，，好，不会做，子状态考虑不对，这边应该注意到了有时候能放左边有时候不能，所以把子状态考虑为左边有几个，右边有几个。即

给定一个有序序列 1 ⋯n，为了构建出一棵二叉搜索树，我们可以遍历每个数字 i，将该数字作为树根，将 1 ⋯(i−1) 序列作为左子树，将 (i+1) ⋯n 序列作为右子树。接着我们可以按照同样的方式递归构建左子树和右子树。

完整思路：
假设n个节点存在二叉排序树的个数是G(n)，令f(i)为以i为根的二叉搜索树的个数，则
G(n) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + ... + f(n)

当i为根节点时，其左子树节点个数为i-1个，右子树节点为n-i，（必须的，因为二叉搜索树左小右大！）则
f(i) = G(i-1)*G(n-i)

综合两个公式可以得到 卡特兰数 公式
G(n) = G(0)*G(n-1)+G(1)*(n-2)+...+G(n-1)*G(0)

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> g(n+1,0);
        g[0]=1;
        for (int i=1;i<=n;i++)
            for (int j=1;j<=i;j++)
            g[i]+=g[j-1]*g[i-j];
        return g[n];
    }
};

另外卡特兰数还有一个通项公式：