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この記事では、ヘストンの株価のボラティリティモデルをシミュレートする方法を紹介します。
ヘストンモデルは、確率的ボラティリティを持つオプション用であり、1993年に債券の通貨オプションに適用されました。リスクのない固定金利の
場合、次のように記述されます。
このモデルを使用することにより、ヨーロピアンコールオプションの価格を導き出すことができます。
機能の説明です。
callHestoncf(S, X, tau, r, v0, vT, rho, k, sigma){
# S = Spot, X = Strike, tau = time to maturity
# r = risk-free rate, q = dividend yield
# v0 = initial variance, vT = long run variance (theta)
# rho = correlation, k = speed of mean reversion (kappa)
# sigma = volatility of volatility
}今、モンテカルロ価格。つのヨーロピアンコールオプションの価格を設定します。月に1回、15年間で10万回のシミュレーションを使用しています。以下は、シミュレーションに役立つパラメータです。
#Initial stock price
S0 <- 100
# Number of simulations (feel free to reduce this)
n <- 100000
# Sampling frequency
freq <- "monthly"
# volatility mean-reversion speed
kappa <- 0.003
# volatility of volatility
volvol <- 0.009
# Correlation between stoch. vol and spot prices
rho <- -0.5
# Initial variance
V0 <- 0.04
# long-term variance
theta <- 0.04
#Initial short rate
r0 <- 0.015
# Options maturities
horizon <- 15
# Options' exercise prices
strikes <- c(140, 100, 60)
シミュレートされたヘストンモデルを使用するには、最初にシミュレーションの実行方法を定義する必要があります。
この関数は、2つのコンポーネントのリストを提供します。各コンポーネントには、シミュレートされたランダムガウス増分が含まれます。
# Stochastic volatility simulation
sim.vol <- simdiff(n = n, horizon = horizon,
frequency = freq, model = "CIR", x0 = V0,
theta1 = kappa*theta, theta2 = kappa,
theta3 = volvol, eps = shocks[[1]])
# Stock prices simulation
sim.price <- simdiff(n = n, horizon = horizon,
frequency = freq, model = "GBM", x0 = S0,
theta1 = r0, theta2 = sqrt(sim.vol),
eps = shocks[[2]])これで3種類を使用できます
オプション価格を計算します。
# Stock price at maturity (15 years)
print(results)
strikes mcprices lower95 upper95 pricesAnalytic
1 140 25.59181 25.18569 25.99793 25.96174
2 100 37.78455 37.32418 38.24493 38.17851
3 60 56.53187 56.02380 57.03995 56.91809
これらの結果から、これらの3つのオプションのモンテカルロ価格は、関数を使用して計算された価格（式を直接使用して価格を計算）に非常に近いことがわかります。95％信頼区間には理論価格が含まれています。
以下は、シミュレーションの数の関数としてのオプション価格です。計算された理論上の価格は青で描かれ、モンテカルロの平均価格は赤で描かれ、網掛け部分は平均値の周りの95％信頼区間を表します（モンテカルロ価格）。
