http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1257
タイトル
n、kと入力して\ [\ sum_ {i = 1} ^ nk \ bmod i \]を要求します
$ 1 \ leqslant n、k \ leqslant 10 ^ 9 $
解決策
これはneerc2005のトピックです
直接残業として直接カウントされる場合
$ k \ bmod i $は、
\ [k- \ left \ lfloor \ frac {k} {i} \ right \ rfloor \ times i \]
時計を再生すると、$ \ left \ lfloor \ frac {k} {i} \ right \ rfloor $が繰り返されることがあります
次に、構造が繰り返されるのはいつですか
使用する必要があります
\ [\ left \ lfloor \ frac {k} {i} \ right \ rfloor \ leqslant \ left（\ frac {k} {i} \ right）\]
その後
\ [\ left \ lfloor \ frac {k} {\ left \ lfloor \ frac {k} {\ left \ lfloor \ frac {k} {i} \ right \ rfloor} \ right \ rfloor} \ right \ rfloor \ leqslant \ left \ lfloor \ frac {k} {\ left \ lfloor \ frac {k} {\ left（\ frac {k} {i} \ right）} \ right \ rfloor} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor \ frac {k} {\ left \ lfloor i \ right \ rfloor} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor \ frac {k} {i} \ right \ rfloor \]
\ [\ left \ lfloor \ frac {k} {\ left \ lfloor \ frac {k} {\ left \ lfloor \ frac {k} {i} \ right \ rfloor} \ right \ rfloor} \ right \ rfloor \ geqslant \ left \ lfloor \ frac {k} {\ left（\ frac {k} {\ left \ lfloor \ frac {k} {i} \ right \ rfloor} \ right）} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor \ left \ lfloor \ frac {k} {i} \ right \ rfloor \ right \ rfloor = \ left \ lfloor \ frac {k} {i} \ right \ rfloor \]
だから
\ [\ left \ lfloor \ frac {k} {\ left \ lfloor \ frac {k} {\ left \ lfloor \ frac {k} {i} \ right \ rfloor} \ right \ rfloor} \ right \ rfloor = \左\ lfloor \ frac {k} {i} \右\ rfloor \]
$ x <y $の場合、中間部分も等しいはずです。
\ [\ left \ lfloor x \ right \ rfloor \ leqslant \ left \ lfloor y \ right \ rfloor \]
これによりパーツを高速化できますが、どれだけ高速化できますか？
直接テーブル検証：
int main（）{
ll i = 1;
int cnt = 0;
while（i <int（1e9））{
cnt ++;
printf（ "％10lld"、i）;
i = int（1e9）/ i;
i = int（1e9）/ i;
i ++;
}
printf（ "\ n％d \ n"、cnt）;
}
最悪のケースは63244サイクルのみ
次に、直接合計することができます
\ [\ sum_ {i = 1} ^ nk \ bmod i = nk- \ sum_ {i = 1} ^ n \ left \ lfloor \ frac {k} {i} \ right \ rfloor \ times i \]
各セグメントが等しい場合、2番目の項は算術シーケンスであり、制限時間を超える場合があります。
時間の複雑さは証明されませんが、証明のために多くの時間を節約できます
ACコード
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define REP（i、a、b）for（int i =（a）; i <（b）; i ++）
#define REPE （i、a、b）for（int i =（a）; i <=（b）; i ++）
#define PERE（i、a、b）for（int i =（a）; i> =（b） ; i--）
名前空間stdを使用;
typedef long long ll;
int main（）{
int n、k; scanf（ "％d％d"、＆n、＆k）;
ll i = 1、ans =（ll）n * k;
while（i <= n）{
if（i> k）{
break;
} else {
int j = k /（k / i）;
if（j> n）j = n;
ans-=（i + j）*（k / i）*（j-i + 1）/ 2;
i = j + 1;
}
}
printf（ "％lld \ n"、ans）;
}