タイトル
与えられた\（p、k \）、\（T \）クエリ、与えられた\（n \）が要求されるたびに、\（\ sum \ limits_ {i = 1} ^ ni ^ k（\％〜p ）\）。（\（2 \ le n、m、k \ le 10 ^ {18}、1 \ le T \ le 3 * 10 ^ 3 \）、\（p \）の最大素因数は\（3 * 10 ^ 5を超えない\））
練習
\（p \）最大素因数は\（3 * 10 ^ 5 \）を超えず、直接総当たり分解\（p = \ prod p_i ^ {a_i} \）
\（p_i ^ {a_i} \）だけを考えます。この\（i \）は、重複する名前に関係なく簡単に区別できるため、次のものとは異なります。
\ [\ begin {aligned} \\ \ sum \ limits_ {i = 1} ^ nj ^ k＆= \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n（ap_i + b）^ k \\＆= \ sum \ limits_ { i = 1} ^ n \ sum \ limits_ {j = 0} ^ {min（k、a_i）} {k \ choose j}（ap_i）^ jb ^ {kj} \\＆= \ sum \ limits_ {j = 0} ^ {min（k、a_i）} {k \ choose j} p ^ j \ sum \ limits_ {i = 1} ^ na ^ jb ^ {kj} \\＆= \ sum \ limits_ {j = 0} ^ {min（k、a_i）} {k \ choose j} p ^ j（\ sum \ limits_ {a = 0} ^ {\ frac {n} {p_i} -1} a ^ j \ sum \ limits_ {b = 0} ^ {p_i-1} b ^ {kj} +（\ frac {n} {p_i}）^ {j} \ sum \ limits_ {b = 0} ^ {n \％p_i} b ^ {kj} ）\\ \ end {aligned} \]