Ceci est le premier article de la colonne Modèle de tarification d'options. Cette colonne vise à partager certains modèles de tarification d'options. Il partira du modèle BSM le plus basique et s'étendra progressivement à la simulation de Monte Carlo, à l'arbre binaire et à d'autres modèles de méthodes numériques, ainsi qu'à Modèle de diffusion, modèle de volatilité stochastique, modèle de réseau neuronal, etc.
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1. Introduction
Après la première publication du modèle BSM en 1973, il a été rapidement appliqué aux marchés financiers. Les traders utilisent le modèle BSM pour évaluer les options et promouvoir davantage l'application des options sur différents marchés. Depuis le début du modèle BSM, le marché a trouvé pour la première fois un modèle d'évaluation des options théoriquement fiable, ce qui a grandement favorisé le développement de l'ensemble du marché des options, ce qui a favorisé la tarification et la liquidité du marché des actifs sous-jacents.
Dans un certain sens, le modèle BSM est en effet un miracle : il permet de fixer le prix des titres de manière très rationnelle, alors qu'avant cela, il n'existait aucune théorie de tarification raisonnable ou défendable. Dans un monde complètement idéalisé (en supposant que les rendements suivent une distribution normale, que les cours des actions suivent la loi du mouvement brownien géométrique, qu'il existe une liquidité abondante, qu'une couverture continue est possible et qu'il n'y a pas de coûts de transaction), le modèle BSM offre des options de réplication dynamique. méthode. C’est un chef-d’œuvre de méthodes d’ingénierie dans un monde imaginaire qui n’existe pas parce que les marchés n’obéissent pas toujours à toutes les hypothèses. Il s’agit bien d’un miracle, mais ce n’est qu’un modèle et non la situation réelle.
Bien entendu, les hypothèses requises par le modèle BSM sont très strictes : on suppose que le rendement de l'actif sous-jacent obéit à une distribution normale, que le prix obéit au mouvement brownien géométrique, que le marché peut toujours fournir une liquidité suffisante et qu'une couverture continue et gratuite est nécessaire. des transactions peuvent être effectuées. Dans un marché réel, certaines de ces hypothèses peuvent être approximativement satisfaites, tandis que d’autres sont loin de l’être. Par exemple, les coûts de transaction et la couverture continue peuvent être obtenus en ajustant les hypothèses. D'autres, comme le modèle de variation du cours des actions, sont difficiles à obéir à l'hypothèse d'un mouvement brownien géométrique. En réalité, les cours des actions bondissent souvent, la répartition globale présente des queues épaisses et même la volatilité change de manière totalement inattendue. Ces conditions sont difficiles à résoudre en ajustant les hypothèses.
2. Copie statique
Tout d’abord, grâce à la définition de l’option, on peut facilement obtenir que la valeur contractuelle d’une option d’achat et d’une option de vente européennes ordinaires à la date d’expiration est :
Ensuite, en supposant qu’un investisseur achète une option d’achat européenne et vend une option de vente européenne avec le même prix d’exercice, quel que soit le prix final de l’action à la date d’expiration, le revenu de l’investisseur est certain : (ST-K).
Allez plus loin et supposez que l’action ne paiera aucun dividende à l’avenir. A un moment t avant la date d'échéance, si un investisseur achète une action sous-jacente au prix actuel St et vend en même temps des obligations sans risque Ke-r (Tt), alors à l'instant T, la valeur de ce portefeuille est ( ST-K). Selon la loi des prix, l’un achète une option d’achat européenne et vend une option de vente européenne avec le même prix d’exercice ; l’autre achète une action et vend en même temps une obligation sans risque. deux doivent être égaux, c'est-à-dire :
En déplaçant les termes des deux côtés de l'équation ci-dessus, pour copier une option d'achat, vous n'avez besoin que d'une option de vente avec le même prix d'exercice et la même date d'expiration, l'action sous-jacente et l'obligation sans risque. Pour copier une option de vente, il suffit d'avoir une option d'achat avec le même prix d'exercice et la même date d'expiration, l'action sous-jacente et l'obligation sans risque.
3. Dérivation du modèle
L'utilisation de méthodes de réplication pour l'évaluation constitue la base théorique de l'ensemble du modèle d'évaluation des options de Black-Scholes-Merton (BSM). Lors de l'élaboration du modèle BSM, une série d'hypothèses théoriques doivent être formulées : les changements dans le cours de l'action sous-jacente sont continus, la volatilité est constante et il n'y a pas de saut de prix (mouvement brownien à un seul facteur) ; les traders peuvent procéder à de grandes opérations longues. ou positions courtes. Couverture continue ; pas de spread bid-ask ; pas de frais de transaction ; l'ajustement de la position peut être décidé de manière indépendante.
Supposons qu'au temps t, le prix d'une certaine action est S, sa volatilité est constante σS et le rendement attendu est μS. Dans le même temps, il existe une obligation sans risque avec un prix B et un taux de rendement supposé constant r. Les prix aléatoires des actions et obligations obéissent :
Parmi eux, dZ obéit au processus standard Wiener. Le prix C de l'option d'achat avec l'action comme actif sous-jacent à l'instant t est une variable liée au cours de l'action et au temps. D’après le lemme de Ito, le prix de C est égal à :
Y compris:
Combinez les positions de S et C pour construire un portefeuille continu sans risque qui élimine cette variable de risque. Soit π=αS+C, où α représente le nombre d'actions nécessaires pour couvrir le risque d'option au moment t. Ensuite il y a:
Pour que cette combinaison reste instantanément sans risque, il faut que la covariance de la variable aléatoire dZ soit égale à 0. C'est-à-dire:
dans:
Puisque ce portefeuille est également sans risque au temps t, selon la loi du prix unique, son taux de rendement au temps t devrait également être le taux d'intérêt sans risque r, donc il y a :
Dans un portefeuille de couverture, cela revient à :
Après réglage, il y a :
Les ratios de Sharpe instantanés de l’option d’achat et de l’action sous-jacente sont égaux. S’il n’existait pas d’opportunités d’arbitrage sans risque, alors les rendements excédentaires par unité de volatilité seraient égaux pour les actions et les options. C’est également le point que Black et Scholes ont initialement souligné lors de l’élaboration de l’équation BSM. En continuant le calcul, en remplaçant μC et σC nous avons :
L'équation aux dérivées partielles du modèle BSM peut être obtenue :
4.Modèle BSM
Le modèle BSM est un modèle de valorisation dérivé de Black et Scholes qui peut être utilisé pour les options sur actions européennes qui ne versent pas de dividendes avant l'expiration. En supposant que c et p sont divisés en prix représentant les options d'achat européennes et les options de vente européennes, la formule de tarification des options est : :
Les paramètres sont expliqués comme suit :
5. Modèle de tarification des options sur indices boursiers
Merton a étendu le modèle BS à un scénario permettant le paiement de dividendes continus. Ce modèle peut être utilisé pour évaluer les options d'achat et de vente européennes sur des actions ou des indices boursiers qui versent un taux de dividende continu q connu.
6. Modèle de tarification des options à terme
En 1976, Black a proposé un modèle européen de tarification des options d'achat et de vente pour évaluer les contrats à terme ou à terme sur l'actif sous-jacent, en supposant que le prix de l'actif sous-jacent est F.
7. Modèle de tarification des options à terme basé sur la prime et les intérêts
Asay a modifié le modèle de tarification des options à terme Black76 basé sur les primes et les intérêts :
8.Modèle de tarification des options Forex
Garman et Kohlhagen ont modifié le modèle BS afin qu'il puisse être utilisé pour évaluer les options de change européennes :
9. Modèle généralisé de tarification des options BSM
Si un ratio de coûts de détention b est introduit, le modèle BSM peut être généralisé. Ce modèle peut être utilisé pour évaluer les options européennes dont les cibles sous-jacentes sont les actions sans dividendes, les actions qui versent continuellement des dividendes, les contrats à terme et les devises :
Lorsque b = r, il s’agit du modèle européen de tarification des options sans dividendes proposé en 1973 ;
Lorsque b=rq, il s’agit du modèle européen de tarification des options à dividendes continus proposé par Merton en 1973 ;
Lorsque b = 0, il s’agit du modèle de tarification des options à terme proposé par Black en 1976 ;
Lorsque b = 0 et r = 0, il s'agit du modèle de tarification des options à terme avec calcul des primes et des intérêts proposé par Asay en 1982 ;
Lorsque b = r-rf, il s’agit du modèle de tarification des options de change.
10. Partie codée
import numpy as np
from scipy.stats import norm
class BSM_Model:
def __init__(self,S,K,T,sigma,r,b,opt):
self.S=S
self.K=K
self.T=T
self.sigma=sigma
self.r=r
self.b=b
self.opt=opt
def d1(self):
return (np.log(self.S/self.K)+(self.b+self.sigma**2/2)*self.T)/(self.sigma*np.sqrt(self.T))
def d2(self):
return self.d1()-self.sigma*np.sqrt(self.T)
def option_value(self):
if self.opt=='call':
value=self.S*np.exp((self.b-self.r)*self.T)*norm.cdf(self.d1())-self.K*np.exp(-self.r*self.T)*norm.cdf(self.d2())
else:
value = -self.S * np.exp((self.b - self.r) * self.T) * norm.cdf(-self.d1()) + self.K * np.exp(
-self.r * self.T) * norm.cdf(-self.d2())
return valueExemple 1:
Le résultat est le suivant : le prix de l’option d’achat européenne est de 2,1333684449162007.
if __name__=='__main__':
#b=r时为1973年提出的无股息欧式期权定价模型
# eg：
S=60
K=65
T=0.25
r=0.08
sigma=0.3
b=r
opt='call'
call=BSM_Model(S,K,T,sigma,r,b,opt).option_value()
print('欧式看涨期权价格为%s'%(call))Exemple 2 :
Le résultat est le suivant : le prix de l’option de vente européenne est de 2,4647876467558305.
if __name__=='__main__':
#b=r-q时为merton在1973年提出的连续股利欧式期权定价模型
S=100
K=95
T=0.5
r=0.1
q=0.05
sigma=0.2
b=r-q
opt='put'
put=BSM_Model(S,K,T,sigma,r,b,opt).option_value()
print('欧式看跌期权价格为%s'%(put))Exemple 3 :
Le résultat est le suivant : le prix de l'option de vente à terme est de 1,7010507252362679.
if __name__=='__main__':
#b=0时为black在1976年提出的期货期权定价模型
F = 19
K = 19
T = 0.75
r = 0.1
sigma = 0.28
b = 0
opt = 'put'
put = BSM_Model(F, K, T, sigma, r, b, opt).option_value()
print('看跌期货期权价格为%s' % (put))Exemple 4 :
Le résultat est le suivant : le prix de l'option de vente à terme est de 65,61854211535751.
if __name__=='__main__':
#b=0且r=0时为Asay在1982年提出的权利金计息下的期货期权定价模型
F = 4200
K = 3800
T = 0.75
r =0
sigma = 0.15
b = 0
opt = 'put'
put = BSM_Model(F, K, T, sigma, r, b, opt).option_value()
print('看跌期货期权价格为%s' % (put))Exemple 5 :
Le résultat est le suivant : le prix de l'option d'achat sur change est de 0,02909925314943973.
if __name__=='__main__':
#b=r-rf时为外汇期权定价模型
S = 1.56
K = 1.6
T = 0.5
r = 0.06
rf=0.08
sigma = 0.12
b = r-rf
opt = 'call'
call = BSM_Model(S, K, T, sigma, r, b, opt).option_value()
print('看涨外汇权价格为%s' % (call))