Propriétés des fonctions d'impulsion

La réponse à l'état zéro d'un circuit à une excitation d'une fonction impulsionnelle unitaire est appelée réponse impulsionnelle unitaire.

La fonction d'impulsion unitaire est également une fonction singulière et peut être définie comme

$\left\{\begin{matrix} \int_{-\infty }^{\infty} \delta (t)dt=1\\ \delta (t)=0 ,t\neq 0 \\ \end{matrix} \droite.$

La fonction d'impulsion unitaire est également appelée fonction delta. Il est 0 à t≠0, mais singulier à t=0.

La fonction d'impulsion unitaire δ(t) peut être considérée comme le cas limite de la fonction d'impulsion unitaire. La figure 1-a montre la forme d'onde d'une fonction d'impulsion rectangulaire unitaire p (t). Sa hauteur est $\frac{1}{\Delta}$ et sa largeur est $\Delta$ . En gardant l'aire du rectangle $\Delta \cdot \frac{1}{\Delta }=1$ inchangée, sa hauteur devient de plus en plus grande à mesure que sa largeur devient de plus en plus étroite. Lorsque la largeur d'impulsion est $\Delta \flèche droite 0$ la hauteur d'impulsion $\frac{1}{\Delta }\rightarrow \infty$ , dans ce cas, vous pouvez obtenir une impulsion dont la largeur tend vers zéro et dont l'aire d'amplitude est infinie et l'aire est toujours 1. C'est la fonction d'impulsion unitaire δ(t), qui peut être enregistré comme

$\lim_{\Delta \rightarrow 0}p(t)=\delta(t)$

La forme d'onde de la fonction d'impulsion unitaire est représentée sur la figure 1-b, parfois marquée d'un « 1 » à côté de la flèche. La fonction d'impulsion d'intensité k peut être représentée par la figure 1-c. À ce stade, "K" doit être marqué à côté de la flèche.

Figure 1

Comme la fonction échelon unitaire qui apparaît avec un retard dans le temps, la fonction d'impulsion unitaire se produisant à t = t0 peut s'écrire δ(t-t0), et Kδ(t-t0) peut également être utilisée pour représenter une intensité K, La fonction d'impulsion qui se produit au temps t0.

La fonction d'impulsion a les deux propriétés principales suivantes :

(1) L’intégrale de la fonction d’impulsion unitaire δ(t) dans le temps est égale à la fonction échelon unitaire $\varepsilon$ (t), c’est-à-dire

$\int_{-\infty }^{t}\delta (\xi )d\xi = \varepsilon (t)$

$\varepsilon$ Au contraire, la dérivée première de la fonction échelon (t) par rapport au temps est égale à la fonction impulsionnelle δ (t), c'est-à-dire

$\frac{d\varepsilon }{dt}=\delta (t)$

(2) La propriété « tamisage » de la fonction d'impulsion unitaire

Puisque lorsque t≠0, δ(t)=0, pour toute fonction f(t) continue lorsque t=0, il y aura

$f(t)\delta (t) = f(0)\delta (t)$

donc

$\int_{-\infty }^{\infty }f(t) \delta (t)dt = f(0)\int_{-\infty }^{\infty } \delta (t)dt=f(0)$

De la même manière, pour toute fonction continue f(t) lorsque t=t0, on a

$\int_{-\infty }^{\infty }f(t) \delta (t-t_{0})dt = f(t_{0})$

C'est-à-dire que la fonction d'impulsion a la capacité de « filtrer » la valeur d'une fonction à un certain moment, c'est pourquoi on l'appelle la propriété de « tamisage », également connue sous le nom de propriété d'échantillonnage.

——Réimprimé du circuit 5e édition Qiu Guanyuan p173

Propriétés des fonctions d'impulsion

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