Méthode de preuve d'inégalité

Méthode de preuve d'inégalité

méthode comparative

• Se réfère principalement à la structure de différence par rapport à 0

• parce que $un>b$ $\iff$ $un-b>0$ Donc pour prouver$un>b$ , il suffit de prouver que$un-b>0$,

• De même, pour prouver que $un<b$ , il suffit de prouver que$un-b<0$

• Cette méthode appartient à la méthode de construction et peut utiliser la fonction pour prouver l'inégalité

• Couramment utilisé dans la preuve des inégalités d'entiers et de fractions polynomiales

exemple

• $(x+1)(x+2)$ avecxxtaille de$x$
• $oui=(x+1)(x+2)-x$ =$X^2+2x\_+2$ =$(x+1{)}^2+1⩾1>0$
• Donc $(x+1)(x+2)>X$

exemple

• 若$b,m_{},m_{}>0$ ; $un<b,m_{}<m_{}$,则$\frac{une+m_{}}{b+m_{}}<\frac{une+m_{}}{b+m_{}}$

• prouver:

  • 构造$oui=\frac{une+m_{}}{b+m_{}}-\frac{une+m_{}}{b+m_{}}$
    • $=\frac{(une-b)(m_{}-m_{}}{(b+m_{})(b+m_{})}$
  • 由$b,m_{},m_{}>0$有$(b+m_{})(b+m_{})>0$
  • 由$un<b,m_{}<m_{}$Respectivement $un-b<0,m_{}-m_{}>0$
  • 所以$oui<0$ ,从而$\frac{une+m_{}}{b+m_{}}<\frac{une+m_{}}{b+m_{}}$

• Cet exemple montre que lorsque $x(x>0)$ augmente,$oui=\frac{une+}{b+x},(b>0)$ augmente également ;

  • En particulier $un=0,b=1$ ,$f\left(x\right)=\frac{}{1+x}$Dans $[0,+\infty )$ croissant ($f\left(x\right)=\frac{}{1+x}=\frac{}{X^{-1}+1}$évidemment augmenté)
  • 由$f\left(x\right)=\frac{}{1+x}$Dans $[0,+\infty ]$ et l'inégalité en valeur absolue$|une|+|b|⩾|un+b|$ a une conclusion : si$un,b\in R$ ,$\frac{|une|+|b}{1+|une|+|b|}$ $⩾$ $\frac{|une+b}{1+|une+b|}$

droit des affaires

• 若$un,b>0$ ,$\frac{}{b}>1$ ,则$un>b$ ;
• 若$un,b>0$ ,$\frac{}{b}<1$则$un<b$

méthode globale

• Lors de la preuve d'une inégalité, celle-ci est souvent dérivée étape par étape des conditions connues de la proposition, en utilisant des axiomes, des théorèmes, etc., et finalement la proposition à prouver est appelée méthode globale.

exemple

• 设$un,b,c>0$ et non congruent (ne satisfaisant pas$un=b=c$ ),则$(un+b)(b+c)(c+une)>8abc\_\_$
• Preuve : A partir des conditions que nous connaissons $un,b,Il\; y\; a\; au\; moins\; deux\; nombres\; dans\; c$ qui ne sont pas égaux, alors soit$un\ne b$ , alors
  • $un+b>2\sqrt{un\; B}$
  • $un+c⩾2\sqrt{bc\_}$
  • $c+un⩾2\sqrt{cun}$
  • 可见$(un+b)(b+c)(c+une)>8abc\_\_$
  • Remarque : Si $un=b=c$ ,则$(un+b)(b+c)(c+une)⩾8abc\_\_$

Analyse

• Parfois, il est possible de partir de la proposition à prouver, d'analyser les conditions suffisantes (souvent nécessaires et suffisantes) pour l'établissement de la proposition , et d'utiliser les théorèmes connus pour en déduire les conditions ou les évidences ou les théorèmes donnés par la proposition. proposition. Cette méthode est appelée méthode d’analyse

exemple

• Montrer que $\sqrt{2}+\sqrt{7}<\sqrt{3}+\sqrt{6}$
• Analyse:
  • $\Leftarrow$ $(\sqrt{2}+\sqrt{7}{)}^2<(\sqrt{3}+\sqrt{6}{)}^2$
  • $\Leftarrow$ $2+2\sqrt{14}+7<3+2\sqrt{18}+6$
  • $\Leftarrow$ $\sqrt{14}<\sqrt{18}$
  • $\Leftarrow$ $14<18$
  • La dernière inégalité est évidemment vraie, ce qui peut pleinement montrer que l'inégalité d'origine est vraie
• Méthode globale :
  • $14<18$ $\Rightarrow$ $\sqrt{14}<\sqrt{18}$ $\Rightarrow$ $2+2\sqrt{14}+7<3+2\sqrt{18}+6$ $\Rightarrow$ $(\sqrt{2}+\sqrt{7}{)}^2<(\sqrt{3}+\sqrt{6}{)}^2$ $\Rightarrow$ $\sqrt{2}+\sqrt{7}<\sqrt{3}+\sqrt{6}$
• Contraste : Dans cet exemple, l'utilisation de la méthode d'analyse est beaucoup plus naturelle et simple

résumé

• Les inégalités qui peuvent être prouvées par la méthode synthétique peuvent également être prouvées par la méthode analytique, et vice versa.
• Pour des problèmes complexes, les méthodes analytiques et synthétiques sont parfois combinées

preuve par contradiction

• Supposons que la proposition à prouver est incorrecte, puis utilisez les axiomes, théorèmes et conditions existants de la proposition pour déduire les conclusions qui sont dans les conditions de la proposition ou les théorèmes qui ont été prouvés ou les faits sont contradictoires, pour expliquez que l'hypothèse n'est pas vraie, et expliquez également que la proposition originale est établie, cette méthode est appelée preuve par contradiction
• La preuve par contradiction part de l'opposé de la conclusion et prouve que la négation de la proposition est une proposition fausse pour montrer que la proposition originale est vraie
• Ce n'est que lorsqu'il n'existe qu'un nombre limité de conclusions à l'antithèse et qu'il est prouvé que ces situations opposées ne sont pas établies (impossibles) que la proposition originale peut être prouvée par la méthode des contradictions.

exemple

• 若$un⩾b>0$ ,$n\in N^{+},n⩾2$ , 则$\sqrt[n]{un}⩾\sqrt[n]{b}$
• Preuve : Supposons $\sqrt[n]{un}<\sqrt[n]{b}$,则$un<b$ , qui est la même que la condition$un⩾b>0$ contradiction, donc la proposition originale est valable ($\sqrt[n]{un}⩾\sqrt[n]{b}$)

exemple

• 若$un+b+c>0,abc>0,un\; B+bc\_+cun>0$ ,则$un,b,c>0$
• Preuve : Soit $un>0$ n'est pas vrai, c'est-à-dire$un⩽0$
  • $un<0$ heures
    • par $abc>0$有$bc\_<0$,
    • 由$un+b+c>0$ ou$b+c>-un>0$ ,$une(b+c)<0$ ,即$un\; B+unc<0$
    • Par exemple, $un\; B+unc+bc\_<0$ , ce qui contredit la condition de la proposition
  • $un=0$ heures
    • $abc=0$ et la condition propositionnelle$abc>0$ contradiction
  • En résumé, $un⩽0$ n'est pas vrai, donc$un>0$
  • De la même manière, on peut prouver que $b>0,c>0$
  • La proposition originale est donc valable

mise à l'échelle

• Parfois, il est nécessaire de mettre à l'échelle (agrandir ou réduire) correctement la valeur de l'inégalité prouvée pour la rendre plus facile à prouver (par exemple, à partir du formulaire) et cette méthode est appelée méthode de mise à l'échelle .
• La clé de la méthode de mise à l'échelle est d'évoluer correctement
  • Si l'inégalité à prouver contient une fraction (le numérateur et le dénominateur ont le même signe ), il existe généralement 2 méthodes de mise à l'échelle
    • Augmentez le dénominateur et réduisez la valeur de la fraction
    • Réduisez le dénominateur et agrandissez la valeur de la fraction
    • Mise à l'échelle multimoléculaire similaire

exemple

• 若${un}_{},{un}_{},{un}_{},{un}_{}>0$ ,则0<${\sum }_{je=1}^{}\left(\frac{{un}_{}}{{\sum }_{j\in S}{un}_{}}\right)$ <2,où$S=\left\{\right\{1,2,3,4\}-\{(je+2)\%4\left\}\right\}$

  • Une autre description de la conclusion : $0<\sum _{je=1}\frac{{un}_{}}{{un}_{j_{}}+{un}_{j_{}}+{un}_{j_{}}}$,où $j_{}=je,j_{}=(je+1)\%4,j_{}=(je+2)\%4$

• Nom : 设$m={\sum }_{je=1}^{}\left(\frac{{un}_{}}{{\sum }_{j\in S}{un}_{}}\right)$ ,

  • Vous souhaiterez peut-être agrandir le dénominateur à ${\sum }_{j=1}^{}{un}_{}$, qui permet l'addition de fractions, la nouvelle formule est enregistrée comme $m^{\prime }=\frac{{\sum }_{j=1}^{}{un}_{}}{{\sum }_{j=1}^{}{un}_{}}=1$ ,而$m^{\prime }<m$ ,则$1<m$
  • 记$m_{}=\frac{{un}_{}}{{un}_{}+{un}_{}},m_{}=\frac{{un}_{}}{{un}_{}+{un}_{}}$, $m_{}=\frac{{un}_{}}{{un}_{}+{un}_{}},m_{}=\frac{{un}_{}}{{un}_{}+{un}_{}}$
  • 显然$\frac{{un}_{}}{{un}_{}+{un}_{}+{un}_{}}<m_{}$, $\frac{{un}_{}}{{un}_{}+{un}_{}+{un}_{}}<m_{}$, $\frac{{un}_{}}{{un}_{}+{un}_{}+{un}_{}}<m_{}$, $\frac{{un}_{}}{{un}_{}+{un}_{}+{un}_{}}<m_{}$
  • Addition équivalente des quatre inégalités ci-dessus, nous obtenons $m<{\sum }_{je=1}^{}{m}_{}=\frac{{un}_{}}{{un}_{}+{un}_{}}+\frac{{un}_{}}{{un}_{}+{un}_{}}+\frac{{un}_{}}{{un}_{}+{un}_{}}+\frac{{un}_{}}{{un}_{}+{un}_{}}$= $2$
  • 所以$1<m<2$ Les inégalités sont prouvées

• 若${un}_{},{un}_{},{un}_{},{un}_{}>0$ ,则0<${\sum }_{je=1}^{}\left(\frac{{un}_{}}{{\sum }_{j\in S}{un}_{}}\right)$ <2,où$S=\left\{\right\{1,2,3,4\}-\{(je+2)\%4\left\}\right\}$

  • Une autre description de la conclusion : $0<\sum _{je=1}\frac{{un}_{}}{{un}_{j_{}}+{un}_{j_{}}+{un}_{j_{}}}$,où $j_{}=je,j_{}=(je+1)\%4,j_{}=(je+2)\%4$

• Nom : 设$m={\sum }_{je=1}^{}\left(\frac{{un}_{}}{{\sum }_{j\in S}{un}_{}}\right)$ ,

  • Vous souhaiterez peut-être agrandir le dénominateur à ${\sum }_{j=1}^{}{un}_{}$, qui permet l'addition de fractions, la nouvelle formule est enregistrée comme $m^{\prime }=\frac{{\sum }_{j=1}^{}{un}_{}}{{\sum }_{j=1}^{}{un}_{}}=1$ ,而$m^{\prime }<m$ ,则$1<m$
  • 记$m_{}=\frac{{un}_{}}{{un}_{}+{un}_{}},m_{}=\frac{{un}_{}}{{un}_{}+{un}_{}}$, $m_{}=\frac{{un}_{}}{{un}_{}+{un}_{}},m_{}=\frac{{un}_{}}{{un}_{}+{un}_{}}$
  • 显然$\frac{{un}_{}}{{un}_{}+{un}_{}+{un}_{}}<m_{}$, $\frac{{un}_{}}{{un}_{}+{un}_{}+{un}_{}}<m_{}$, $\frac{{un}_{}}{{un}_{}+{un}_{}+{un}_{}}<m_{}$, $\frac{{un}_{}}{{un}_{}+{un}_{}+{un}_{}}<m_{}$
  • Addition équivalente des quatre inégalités ci-dessus, nous obtenons $m<{\sum }_{je=1}^{}{m}_{}=\frac{{un}_{}}{{un}_{}+{un}_{}}+\frac{{un}_{}}{{un}_{}+{un}_{}}+\frac{{un}_{}}{{un}_{}+{un}_{}}+\frac{{un}_{}}{{un}_{}+{un}_{}}$= $2$
  • 所以$1<m<2$ Les inégalités sont prouvées

exemple

• La méthode de mise à l'échelle est pratique et efficace pour la preuve de certaines inégalités de corrélation logarithmique
• Exemple : prouver que ${salutg}_{}3>{salutg}_{}4$
  • Par la propriété logarithmique ${salutg}_{{un}^{}}{b}^n=nm{\_}^{-1}{salutg}_{}b$ , si$nm{\_}^{-1}=1$ , c'est à dire$m=n$时,${salutg}_{{un}^{}}{b}^n={salutg}_{}b$
  • ${salutg}_{}3={salutg}_{2^{}}{3}^3={salutg}_{}27$ >${salutg}_{}27$
  • ${salutg}_{}4={salutg}_{3^{}}{4}^2={salutg}_{}16$ <${salutg}_{}27$
  • 可见${salutg}_{}4<{salutg}_{}27<{salutg}_{}3$
  • 即${salutg}_{}3>{salutg}_{}4$

Géométrie

• L'application de la géométrie est également un moyen important de prouver l'inégalité
• Habituellement, la géométrie correspondante (telle qu'un cercle unitaire, un rectangle, etc.) est construite en fonction des expressions comparées, et la comparaison des attributs géométriques (surface, etc.) est utilisée pour prouver la relation de taille entre les expressions.

exemple

• Nom : $0<\mathrm{péché}X<X<\mathrm{bronzer}x$ ,$X\in (0,\frac{}{2})$
  • Dans le système de coordonnées cartésiennes $En\; xOy$ , comme cercle unité O (rayon$r=1$)
  • Will Angle xxLe bord de départde$x$ est placé enxxaxe$x$$L\text{'}arête\; de\; départ\; de\; x$ coupe le cercle$Ô$ point$UN$
  • Angle xxLes côtés terminauxde$x$ coupent le cercle$O$ au point B, passant par$Un$ pour$La\; ligne\; verticale\; de\; l\text{'}axe\; des\; x$ coupeOB OBRallonge$OB$ versCC_$C$ ($CO⩾1$ ); au-dessus du point$B$ pour$La\; ligne\; perpendiculaire\; de\; l\text{'}$ axe des x se coupe au point$D$
    • Explication des symboles : $triABC,la\; sectABC$ représente respectivement le triangle ABC et le secteur ABC
    • $S_{triOA}=\frac{}{2}|OA||BD|$ =$\frac{}{2}\mathrm{péché}X$
    • $S_{secOAB\_}=\frac{}{2}x|OA{|}^2=\frac{}{2}X$
    • $S_{triOA}=\frac{}{2}|OA||AC|$ =$\frac{}{2}\mathrm{bronzer}X$
    • D'un point de vue géométrique, il est évident que $0<S_{triA}<S_{sectA}<S_{triOA}$,从而$0<\frac{}{2}\mathrm{péché}X<\frac{}{2}X<\frac{}{2}\mathrm{bronzer}x$ ,即$0<\mathrm{péché}X<X<\mathrm{bronzer}X$

exemple

• Montrer que $|\mathrm{péché}x|⩽|x|Pour$ x ∈$X\in R$ Heng a été créé
• Preuve : Nous utiliserons la méthode de synthèse pour prouver que
  • 由上例 : $0<\mathrm{péché}X<X<\mathrm{bronzer}x$ ,$X\in (0,\frac{}{2})$ ; et$X=0$ heures$\mathrm{péché}X=\mathrm{péché}0=0$ , satisfaisant$|\mathrm{péché}0|=|0|$
    1. 当$X\in [0,\frac{}{2})$时,$|\mathrm{péché}x|=\mathrm{péché}X⩽X=|x|$
    2. 当$X\in (-\frac{}{2},0)$时,$-x\_\in (0,\frac{}{2})$ , par$\left(1.\right)$和$\mathrm{péché}-x\_=\mathrm{péché}x$ montre :$|\mathrm{péché}(-X)|⩽|-x|$ ,即$|\mathrm{péché}x|⩽|x|$
    3. 当$|x|⩾\frac{}{2}$, $\frac{}{2}⩽|x|$ , et$|\mathrm{péché}x|⩽1$ pour n'importe quel$x$ est vrai, donc$|\mathrm{péché}x|⩽1<\frac{}{2}⩽|x|$ ,即$|\mathrm{péché}x|<|x|$
  • En résumé, la proposition originale est établie