Connaissance préalable : quelques méthodes spéciales pour résoudre des problèmes avec des intégrales définies
Exercice 1
Comparez l'amplitude des intégrales définies :
∫ 0 1 1 1 + x 2 dx ‾ ∫ 0 1 1 1 + x 4 dx \int_0^1\dfrac{1}{1+x^2}dx\underline{\qquad}\int_0^1\dfrac{1 }{1+x^4}dx∫011+X21réx _∫011+X41réx _
Solution :
\qquadParce que dans [ 0 , 1 ] [0,1][ 0 ,1 ]上1 1 + x 2 ≤ 1 1 + x 4 \dfrac{1}{1+x^2}\leq\dfrac{1}{1+x^4}1+X21≤1+X41, donc ∫ 0 1 1 1 + x 2 dx ≤ ∫ 0 1 1 1 + x 4 dx \int_0^1\dfrac{1}{1+x^2}dx\leq\int_0^1\dfrac{1}{ 1+x^4}dx∫011+X21réx _≤∫011+X41réx _
Exercice 2
设je 1 = ∫ 1 2 ln xdx , je 2 = ∫ 1 2 ln 2 xdx , je 3 = ∫ 1 2 x ln xdx I_1=\int_1^2\ln xdx,I_2=\int_1^2\ln ^2 xdx,I_3=\int_1^2x\ln xdxje1=∫12dansx d x ,je2=∫12dans2x d x ,je3=∫12Xdansx d x , alors l'inégalité suivante est correcte( ) (\qquad)()。
UN . Je 3 < Je 2 < Je 1 B . Je 1 < Je 2 < Je 3 C . I 2 < I 1 < I 3 I 2 < I 3 < I 1 A.I_3<I_2<I_1\qquad B.I_1<I_2<I_3\qquad C.I_2<I_1<I_3\qquad I_2<I_3<I_1Un . je3<je2<je1B. _ je1<je2<je3C. _ je2<je1<je3je2<je3<je1
Solution :
\qquadParce que dans [ 1 , 2 ] [1,2][ 1 ,2 ]上ln X - ln 2 X = ln X ( 1 - ln X ) > 0 \ln x-\ln^2x=\ln x(1-\ln x)>0dansX−dans2X=dansx ( 1−dansx )>0
\qquadDonc ∫ 1 2 ln xdx > ∫ 0 1 ln 2 xdx \int_1^2\ln xdx>\int_0^1\ln^2 xdx∫12dansx d x>∫01dans2x d x，即I 1 > I 2 I_1>I_2je1>je2
\qquadParce que dans [ 1 , 2 ] [1,2][ 1 ,2 ]上x ln X - ln X = ln X ( X - 1 ) > 0 X\ln X-\ln X=\ln x(x-1)>0XdansX−dansX=dansx ( x−1 )>0
\qquadDonc ∫ 1 2 x ln xdx > ∫ 0 1 ln xdx \int_1^2x\ln xdx>\int_0^1\ln xdx∫12Xdansx d x>∫01dansx d x，即I 3 > I 1 I_3>I_1je3>je1
\qquad所以I 2 < I 1 < I 3 I_2<I_1<I_3je2<je1<je3, sélectionnez CCC
Exercice 3
Soit f ( x ) f(x)f ( x ) dansRRContinue sur R , satisfaisant ∫ 0 1 f ( xt ) dt = f ( x ) + x sin x \int_0^1f(xt)dt=f(x)+x\sin x∫01f ( X t ) ré t=f ( x )+Xpéchéx ,def ( π 2 ) = 0 f(\dfrac{\pi}{2})=0f (2p)=0 , trouver quandx ≠ 0 x\neq 0X=A 0 f ( x ) f(x)La valeur de f ( x ) .
解：
∫ 0 1 F ( xt ) dt = 1 X ∫ 0 1 F ( xt ) ré ( xt ) = 1 x ∫ 0 xf ( t ) dt \qquad \int_0^1f(xt)dt=\dfrac 1x\int_0 ^1f(xt)d(xt)=\dfrac 1x\int_0^xf(t)dt∫01f ( X t ) ré t=X1∫01f ( X t ) ré ( X t )=X1∫0xf ( t ) ré t
\qquad于是∫ 0 xf ( t ) dt = xf ( x ) + x 2 sin x \int_0^xf(t)dt=xf(x)+x^2\sin x∫0xf ( t ) ré t=x f ( x )+X2péchéX
\qquadDérivation des deux côtés en même temps f ( x ) = f ( x ) + xf ′ ( x ) + 2 x sin x + x 2 cos xf(x)=f(x)+xf'(x)+ 2x\sin x+x^2\cos xf ( x )=f ( x )+x f′ (x)+2x _péchéX+X2parce queX
\qquadDonc f ′ ( X ) = − 2 sin X − X cos X F'(x)=-2\sin xx\cos xF′ (x)=− 2péchéX−Xparce queX
\qquad所以f ( X ) = ∫ ( - 2 sin X - X cos X ) dx = cos X - X sin X + C f(x)=\int(-2\sin xx\cos x)dx= \cos xx\sin x+Cf ( x )=∫ ( − 2péchéX−Xparce quex ) ré x=parce queX−XpéchéX+C
\qquad将f ( π 2 ) = 0 f(\dfrac{\pi}{2})=0f (2p)=Remplacez 0 pour obtenir 0 − π 2 + C = 0 0-\dfrac{\pi}{2}+C=00−2p+C=0 ,interpréterC = π 2 C=\dfrac{\pi}{2}C=2p
\qquadDonc f ( X ) = cos X - X sin X + π 2 f(x)=\cos xx\sin x+\dfrac{\pi}{2}f ( x )=parce queX−XpéchéX+2p