Combien de fois faut-il regarder les six faces d'un dé - Notes de Penden sur la théorie des probabilités
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Quand je regardais la vidéo il y a quelques jours, j'ai trouvé une telle question
répondre
Réduit au problème des pièces
pratique générale
- En supposant que vous puissiez voir le recto et le verso de la pièce deux fois, alors la situation peut être "recto et verso" ou "de toute façon" (les deux autres sont "recto et verso", "inverse et négatif"), et la probabilité est 1 2 \frac{ 1 }{2}21；
- En supposant que vous ne puissiez voir le recto et le verso de la pièce que trois fois, alors la situation peut être "face et face" ou "face et face" (les deux autres sont "face et face" et "inversion et dos"), et la probabilité est 1 4 \ frac {1}{4}41(A cause de "positif positif", la probabilité de "anti-négatif" est de 1 2 \frac{1}{2}21)；
- Et ainsi de suite...
| n | 2 | 3 | ⋯ \cdots⋯ | k |
|---|---|---|---|---|
| p | 1 2 \frac{1}{2}21 | 1 4 \frac{1}{4}41 | ⋯ \cdots⋯ | 1 2 k − 1 \frac{1}{2^{k-1}}2k - 11 |
E n = 2 ∗ 1 2 + 3 ∗ 1 4 + ⋯ + k ∗ 1 2 k − 1 2 E n = 2 + 3 ∗ 1 2 + ⋯ + k ∗ 1 2 k − 2 moins E n = 2 + 1 2 + 1 4 + ⋯ + 1 2 k − 2 − k ∗ 1 2 k − 1 = 3 \begin{aligned} En &= 2*\frac{1}{2}+3*\frac{1}{ 4} +\dots+k*\frac{1}{2^{k-1}} \\ 2En&= 2+3*\frac{1}{2}+\dots+k*\frac{1}{ 2^ {k-2}} \\ inférieur moins supérieur \quad En &= 2 +\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^{ k- 2}} - k*\frac{1}{2^{k-1}} = 3 \end{aligned}en _2 F nbas moins hauten _=2∗21+3∗41+⋯+k∗2k - 11=2+3∗21+⋯+k∗2k - 21=2+21+41+⋯+2k - 21−k∗2k - 11=3
méthode récursive
Général E 2 E_2E2Enregistré comme le nombre moyen de fois utilisé pour voir deux personnes, E 1 E_1E1Enregistré comme le nombre moyen de fois où E 2 a utilisé pour voir un côté
= 1 2 ( 1 + E 1 ) + 1 2 ( 1 + E 1 ) \begin{aligned} E_2 &= \frac{1}{2}(1 +E_1) + \frac{1}{2}(1+E_1) \\ \end{aligné}E2=21( 1+E1)+21( 1+E1)
Où le précédent 1 2 ( 1 + E 1 ) \frac{1}{2}(1+E_1)21( 1+E1) représente le nombre moyen de fois nécessaire pour lancer des têtes pour la première fois (ceE 1 E_1E1Indique le nombre moyen de fois nécessaire pour lancer vers la queue), cette dernière 1 2 ( 1 + E 1 ) \frac{1}{2}(1+E_1)21( 1+E1) représente le nombre moyen de fois nécessaire pour lancer les queues pour la première fois (ceE 1 E_1E1représente le nombre moyen de lancers nécessaires pour atterrir tête);
E 1 E_1E1Si cela signifie le nombre moyen de fois
E 1 = 1 2 + 1 2 ( 1 + E 1 ) E_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(1+E_1)E1=21+21( 1+E1)
où le précédent1 2 \frac{1}{2}21Indique que le premier tirage est négatif et que le suivant est 1 2 E 1 \frac{1}{2} E_121E1Indique la première fois qu'il a été élu tête ;
E 1 = 2 E 2 = 3 peut être résolu à partir de E_1 = 2 \\ E_2 = 3
E1=2E2=3
retour au problème des dés
Si la solution générale est encore utilisée pour les dés, elle sera très compliquée ; alors prenons la méthode récursive
E 6 = 1 6 ( 1 + E 5 ) + ⋯ + 1 6 ( 1 + E 5 ) = ( 1 + E 5 ) E 5 = 1 6 ( 1 + E 5 ) + 5 6 ( 1 + E 4 ) = 6 5 + E 4 E 4 = 2 6 ( 1 + E 4 ) + 4 6 ( 1 + E 3 ) = 6 4 + E 3 E 3 = 3 6 ( 1 + E 3 ) + 3 6 ( 1 + E 2 ) = 6 3 + E 2 E 2 = 4 6 ( 1 + E 2 ) + 3 6 ( 1 + E 1 ) = 6 2 + E 1 E 1 = 5 6 ( 1 + E 1 ) + 1 6 \begin{aligned} E_6 &= \frac{1}{6}(1+E_5) + \dots + \frac{1}{6 }(1 +E_5) \\ &=(1+E_5) \\ E_5 &= \frac{1}{6}(1+E_5) + \frac{5}{6}(1+E_4) \\ & =\frac {6}{5} + E_4 \\ E_4 &= \frac{2}{6}(1+E_4) + \frac{4}{6}(1+E_3) \\ &=\frac{ 6}{ 4} + E_3 \\ E_3 &= \frac{3}{6}(1+E_3) + \frac{3}{6}(1+E_2) \\ &=\frac{6}{3 } + E_2 \\ E_2 &= \frac{4}{6}(1+E_2) + \frac{3}{6}(1+E_1) \\ &=\frac{6}{2} + E_1 \ \ E_1 & = \frac{5}{6}(1+E_1) + \frac{1}{6} \\ \end{aligné}E6E5E4E3E2E1=61( 1+E5)+⋯+61( 1+E5)=( 1+E5)=61( 1+E5)+65( 1+E4)=56+E4=62( 1+E4)+64( 1+E3)=46+E3=63( 1+E3)+63( 1+E2)=36+E2=64( 1+E2)+63( 1+E1)=26+E1=65( 1+E1)+61
解得
E 1 = 6 E 6 = 1 + 6 5 + 6 4 + 6 3 + 6 2 + 6 E_1 = 6 \\ E_6 = 1 + \frac{6}{5} + \frac{6}{4} + \frac{6}{3} + \frac{6}{2} + 6 \\E1=6E6=1+56+46+36+26+6