Il existe de nombreuses définitions des angles d'Euler sur Internet. Vous pouvez les trouver en les recherchant, mais ces concepts et définitions semblent comprendre, mais pour certains débutants, il peut y avoir des endroits difficiles à comprendre. Cet article présente quelques idées, essayez de les décrire S'il y a des erreurs, veuillez me corriger.
Cet article se concentre sur la description des concepts et n'implique pas de calculs spécifiques.
Examinons d'abord un problème. Un point p dans l'espace tourne autour d'un axe d'un angle de ω au point p '. Trouvez les coordonnées et la matrice de rotation de p'. C'est le problème à résoudre par
les angles d'Euler . Cependant, la méthode de l'angle d'Euler "Un axe pivote d'un angle" est décomposé en "fait pivoter continuellement 3 angles autour de 3 axes". (Autrement dit, le problème de conversion de l'angle d'axe et de l'angle d'Euler, les élèves intéressés peuvent étudier par eux-mêmes).
Après décomposition, 3 rotations apparaissent Axe, et lorsque la direction des trois axes de rotation est tournée, la direction de l'axe de rotation (règle de droite) représente la "direction", "orientation" ou "orientation", "face" du corps rigide. C'est là que se trouvent ces noms La signification de certains concepts d'angle d'Euler.
Laissez-moi vous expliquer en détail ci-dessous. Ensuite, je vais déduire comment calculer l'angle d'Euler.
Le vecteur d'un point p sur le corps rigide dans le repère fixe xyz est v . Le repère actif X0Y0Z0 sur le corps rigide coïncide avec xyz, et X0Y0Z0 se déplace de manière synchrone avec le corps rigide.
Pronation / angle d'Euler dynamique
Rotation interne / angle d'Euler dynamique, ordre des axes: Z0-X1-Y2; ordre des angles: (γ, α, β)
.Trois fois de rotation anti-horaire, le système de coordonnées actif est oX0Y0Z0-> oX1Y1Z1-> oX2Y2Z2-> oX3Y3Z3.
Après avoir effectué 3 rotations, définissez le vecteur du point p dans oX3Y3Z3 sur V3 . Comme il s'agit d'une rotation synchrone, V3 = v . Il
convient de noter que l'axe de rotation interne est «l'axe du système de coordonnées actif». Ou «coordonnée active» Attaché autour de son propre axe "
Maintenant, ce qu'il faut calculer est «vecteur oX3Y3Z3 V3 dans le vecteur oX0Y0Z0 V30 ». Cela équivaut à calculer:
«point P après 3 rotations» est «vecteur oX0Y0Z0 V30 ». Parce que oX0Y0Z0 coïncide avec oxyz, il en va de même Il s'agit de calculer le vecteur V30 du "point p après 3 rotations" en oxyz .
V3 est le vecteur dans oX3Y3Z3, et le vecteur dans oX0Y0Z0 est V30 . Trouver V30 selon V3 est évidemment une transformation de coordonnées, c'est-à-dire que le vecteur V3 dans oX3Y3Z3 est transformé en vecteur V30 dans oX0Y0Z0 . Soit la matrice de transformation R, Alors: V30 = R * V3 ne nécessite que la matrice de transformation R, alors V30 peut être obtenu .
Bien sûr, il est très difficile de trouver directement R, il faut donc trouver R par des méthodes indirectes. Le calcul est principalement divisé en 3 étapes.
1. Trouvez d'abord le vecteur V32 de V3 dans oX2Y2Z2, c'est-à- dire transformez le vecteur V3 en oX3Y3Z3 en V32 en oX2Y2Z2 .Equivalent au système de coordonnées oX3Y3Z3 autour de l'axe de rotation oY3 rotation horaire β à la position oX2Y2Z2 (ou rotation antihoraire -β à la position oX2Y2Z2). Réglez la matrice de transformation sur R32, il y a: V32 = R (Y3, -β) * V3
2. Trouvez le vecteur V31 de V32 en oX1Y1Z1, c'est-à- dire transformez le vecteur V32 en oX2Y2Z2 en oX1Y1Z1. Il équivaut au système de coordonnées oX3Y3Z3 de la position oX2Y2Z2 et de l'axe de rotation oX2 rotation horaire α à la position oX1Y1Z1 (ou rotation anti-horaire-α à oX1Y1Z1 position). Supposons que la matrice de transformation soit R31, il y a: V31 = R (X2, -α) * V32
3. Trouvez le vecteur V30 de V31 dans oX0Y0Z, c'est-à- dire transformez le vecteur V31 en oX1Y1Z1 en oX0Y0Z0. Il équivaut au système de coordonnées oX3Y3Z3 de la position oX1Y1Z1 et de l'axe de rotation oZ1 rotation horaire γ à la position oX0Y0Z (ou rotation anti-horaire-γ) oX0Y0Z0 position) ... Supposons que la matrice de transformation soit R (Z1, -γ), il y a: V30 = R (Z1, -γ) * V31
4.Finalement obtenu: V30 = R (Z1, -γ) * V31 = R (Z1, -γ) * R (X2, -α) * V32 = R (Z1, -γ) * R (X2, -α ) * R (Y3, -β) * V3 .
5. 设 复合 矩阵 矩阵 R (γ, α, β) ：V30 = R (γ, α, β) * V3 = R (γ, α, β) * v .
R (γ, α, β) = R (Z1, -γ) * R (X2, -α) * R (Y3, -β)
Le résultat final est le suivant: le résultat 
final est le même que le résultat dans la description de Wanweipedia. Veuillez ajouter la description du lien (le dernier Z1X2Y3 = ... Notez que ce Z1X2Y3 représente l'ordre de multiplication de la matrice. Ce résultat est en fait un Euler statique Matrice de rotation composite angulaire, son ordre angulaire (γ, α, β), l'ordre des axes est yxz; mais les angles d'Euler statiques / dynamiques sont équivalents, il est donc équivalent à l'angle d'Euler dynamique (γ, α, β), ordre des axes Z0- X1-Y2).
En ce qui concerne la matrice de rotation composite et la matrice de transformation composite,
la matrice de transformation composite mentionnée ci-dessus est pour le système de coordonnées actif, et elle implique la transformation de coordonnées dans le système de coordonnées actif. Le
processus de rotation ci-dessus peut également être considéré comme un point sur le corps rigide de p dans le système de coordonnées fixe oxyz Les coordonnées sont continuellement tournées autour de 3 axes différents (3 droites en oxyz) à la coordonnée p ', et la matrice de rotation composite est R, alors:
p' = R * p.
La matrice de rotation composite R a ici en fait une transformation composite Matrice R (γ, α, β): R = R (γ, α, β)
Remarque: p, p'all représentent les coordonnées dans le repère fixe oxyz, qui n'a rien à voir avec le repère actif.
Bien que la "matrice de transformation" soit utilisée dans le processus de calcul, le but ultime est en fait de trouver la "matrice de rotation composite" afin de trouver les coordonnées de p '.
Rotation externe / angle d'Euler stationnaire
Rotation externe / angle d'Euler statique, ordre des axes: yxz; ordre des angles: (γ, α, β).
3 fois de rotation antihoraire, le système de coordonnées actif est oX0Y0Z0-> oX1Y1Z1-> oX2Y2Z2-> oX3Y3Z3.
Notez que externe L'axe de rotation de la rotation est "l'axe du système de coordonnées fixe". En d'autres termes, le système de coordonnées actif tourne autour de "l'axe de coordonnées du système de coordonnées fixe" au lieu de tourner autour de son propre axe de coordonnées.
Ce type d'angle d'Euler est plus facile à comprendre, et le point doit être continuellement tourné (β, α, γ) dans le repère 3D oxyz dans l'axe de coordonnées zxy continu (β, α, γ), il n'y a pas d'explication.
Etant donné que le point p du corps rigide tourne toujours autour de l'axe de coordonnées du système de coordonnées fixe oxyz, il n'a rien à voir avec le système de coordonnées actif et le processus de calcul n'implique pas le système de coordonnées actif.
Définissez le vecteur v du point p dans le système de coordonnées fixe oxyz .
Processus de calcul:
1. La première rotation, le point p, tourne γ dans le sens antihoraire autour de l'axe y, définissez la matrice de rotation de base r (y, γ) et le vecteur pivoté v1 : v1 = r (y, γ) v . 2. Pour la deuxième rotation, le point p continue de tourner dans le sens antihoraire α autour de l'axe x, définissez la matrice de rotation de base r (x, α) et le vecteur de rotation v2 : v2 = r (x , α) v1 . 3. Pour la troisième rotation, le point p continue de tourner β dans le sens antihoraire autour de l'axe z, définissez la matrice de rotation de base r (z, β) et le vecteur de rotation v3 : v3 = r (z, β) v2 4 . v3 = r (z, β) v2 = r (z, α) r (x, α) v1 = r (z, β) r (x, α) r (y, γ) v . 5. Laisser le composé tourner Matrice r (γ, α, β): v3 = r (γ, α, β) v r (γ, α, β) = r (z, β)
r (x, α) r (y, γ)
Résultat final: 
Ce résultat est cohérent avec le résultat de l' encyclopédie Wanwei , veuillez ajouter la description du lien (le dernier Z1X2Y3 = ... Z1X2Y3 est l'ordre de la multiplication de la matrice de rotation de base, l'ordre des axes est en fait yxz ).
La rotation interne et la rotation externe sont équivalentes
L'angle d'Euler de rotation interne et l'angle d'Euler de rotation externe sont équivalents, ce qui signifie que la "matrice de rotation composite est la même" finale, comme le résultat du calcul ci-dessus:
r (γ, α, β) = r (z, β) r (x, α) r (y, γ) = R (γ, α, β) = R (Z1, -γ) R (X2, -α) R (Y3, -β)
Bien sûr, "l'angle de ces deux angles d'Euler L'ordre est le même "," l'ordre des axes est opposé ".