- vecteur matrice
Il y a deux vecteurs:
\ [\ overrightarrow {\ RM} {A} = ({} A_1, A_2 {}, {} A_3) \]
\ [\ Overrightarrow {\ rm {b}} = ({B_1}, {B_2}, {} b_3) \]
Le résultat indique un vecteur de produit croisé, ce vecteur perpendiculaire au vecteur a, vecteur b configuration plane.
\ [\ overrightarrow a \ fois de la overrightarrow {\ rm {b}} = \ left \ | {\ begin {array} {*} {{20 c}}
{{e_1}} & {{E_2}} et {{e_3}} \\
{{A_1}} & {{A_2}} & {{} A_3 } \\
{{B_1}} & {{B_2}} et {{b_3}}
\ end {array}} \ right \ | = \ Left [{\ begin {array} {*} {{20 c}}
{{} {A_2 b_3} - {{} A_3 B_2}} \\
{{{} A_3 B_1} - {{A_1}} b_3 } \\
{{A_1} {B_2} - {A_2} {B_1}}
\ end {array}} \ right] = \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}}
0 & {- { A_3}} et {{A_2}} \\
{{A_3}} & 0 & {- {A_1}} \\
{- {A_2}} et {{A_1}} & 0
\ end {array}} \ right] \ left [ {\ begin {array} {*} {{20 c}}
{{}} B_1 \\
{{B_2}} \\
{{b_3}}
\ end {array}} \ right] = {a ^ \ wedge} b \]
La matrice correspondant à un vecteur représenté comme une matrice symétrique, chacune correspond vecteur à une matrice symétrique. Cela conduit à une forme matricielle d'un vecteur.
\ [{a ^ \ wedge} = \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}}
0 & {- {A_3}} et {{A_2}} \\
{{A_3}} & 0 & {- {A_1}} \\
{- {A_2}} et {{A_1}} & 0
\ end {array}} \ right] \]
- Point confusable transformation de coordonnées
Dans la transformation homogène
\ [{{\ Rm {p}} _ 1} = {{T_ 12}} \ {balle p_2} \]
\ [{{\ Rm {p}} _ 2} = {{T_ 23}} \ {balle P_3} \]
T 12 est représenté, les coordonnées {2} vecteur transformé en système de coordonnées {1} in, T 23 est la même, si le système de coordonnées {3} vecteur transformé en le système de coordonnées {1} en tant que:
\ [{{\ Rm {p}} _ 1} = {T_ {12}} \ bullet {T_ {23}} \ {P_3 balle} \]
- Euler angles et des vecteurs de rotation:
SO (3) matrice de rotation neuf montant, mais seulement trois degrés de liberté, d'empathie SE (3) la quantité de 16, mais seulement six degrés de liberté. Dans la rotation réelle, rotation arbitraire d'un arbre rotatif et est disponible pour un angle de rotation est représenté, on utilise un vecteur dans la même direction avec l'axe de rotation, une longueur égale à l'angle de rotation, de sorte que seul un vecteur à trois dimensions peut être rotation décrit. Pour SE (3), peut être exprimée par un vecteur de rotation et un vecteur de translation, juste liberté 6. Si le vecteur de rotation décrit R: axe de rotation vecteur une unité de longueur n, l'angle $ \ theta $, alors $ \ theta {\ rm {n}} $ cette rotation peut être exprimée. Le vecteur de rotation et la matrice de rotation R $ \ theta {\ rm {n}} $ processus de conversion pour transformer Rodriguez:
\ [R = \ cos \ theta I + (1 - \ cos \ theta) n {n ^ T} + \ sin \ theta {n ^ \ wedge} \]
End ici $ {{\ rm {n}} ^ \ wedge} $ Comme indiqué plus haut, le vecteur de représentation matrice représentative. Ensuite, tournez le coin pour obtenir $ \ theta $ par la matrice de rotation;
$$ \ theta {\ rm {= arccos}} \ frac {{tr (R) - 1}} {2} $$
TR (R) est la trace de la matrice R. Pour broche n, Rn = n; représente lui-même que l'axe de rotation ne change pas dans le vert, la matrice R n est mathématiquement une valeur de caractéristique des vecteurs propres correspondant. Et l'angle de rotation de l'arbre rotatif pour indiquer à partir de maintenant est compact, il n'y a pas de redondance, mais l'angle d'Euler espace RPY, lorsque la rotation atteint un $ \ underline {\ rm {+}} 90 ^ \ circ $ il est l'émergence de la singularité. Lorsque la latitude et la longitude correspondant à la latitude de terre $ \ underline {\ rm {+}} 90 ^ \ quand circ $, vide de sens de la longitude.
Alors, comment résoudre la redondance et la singularité de celui-ci, donc il a proposé quaternion, il n'y a pas de redondance ni singularité.
- quaternion
$ Q = {Q_0} + {q_1} i + {Q_2} + {j} k $ Q_3 où i, j, k de quaternion trois partie imaginaire, la relation est:
\ [\ left \ {{\ begin {array} {* {20} {c}}
{{i ^ 2} {\ rm {=}} {j ^ 2} {\ rm {=}} {k ^ 2 } {\ rm {=}} \; - 1} \\
{ij = k, ji = - k} \\
{jk = i, kj = - i} \\
{ki = j, ik = - j}
. \ End {array}} \ right \]
i, j, relations k comme comme trois système de coordonnées tridimensionnel, le quaternion unitaire peut être représentée dans un espace d'une rotation, et une pluralité d'un certain nombre de différents, au pluriel, est multipliée par i représente la rotation de 90 °, mais de Quaternaire numéros, multiplié par i correspondant à une rotation de 180 °, afin d'assurer $ ij = k $, ce qui correspond à une rotation de 180 ° autour de l'i, j à environ 180 ° de rotation autour de rotation de k égale à 180 °. $ {I ^ 2} = - 1 $ i Axe des moyens de rotation d'environ 360 ° C pour donner un côté opposé. Opération entre les quatre quaternion satisfont à la relation ci-dessus.
- Représente la rotation quaternion
Un point de l'espace tridimensionnel $ p = [x, y, z] \ dans R ^ {3} $, spécifié par une unité de rotation quaternion q, $ p $ points en trois dimensions après rotation à $ p « $, dans la matrice d'origine est décrit comme $ p « = Rp $, décrivant le quaternion: $ p = {[0, x, y, z] ^ T} = {[0, u] ^ T} $, plutôt les trois axes correspond à la partie imaginaire de l'espace à trois quaternion dans, rotation $ p « $ peut être exprimé comme: $ p » = QP {q ^ {- 1}} $ (Pourquoi pas prémultiplication enchevêtrement a q a q-multiplier l'inverse des règles opérationnelles est ainsi), le résultat est encore quaternions. Le p « $ partie imaginaire a été prise après la rotation de coordonnées.