Lineare Korrelation ist ein wichtiges Konzept in der linearen Algebra, mit dem die lineare Beziehung zwischen Vektoren oder Vektorgruppen beschrieben wird. Es gibt mehrere Möglichkeiten, um zu beurteilen, ob eine Vektorgruppe linear verknüpft ist:
1. **Beurteilung per Definition**:
- Wenn es einen Satz von Koeffizienten gibt, die nicht alle Null sind, so dass die Summe dieser Koeffizienten mit dem entsprechenden multipliziert wird Die Vektorgruppe entspricht einem Nullvektor. Dann ist die Vektorgruppe linear verknüpft.
- Wenn die Vektorgleichung nur gilt, wenn alle Koeffizienten Null sind, d. h. die Menge der Vektoren nur dann linear abhängig ist, wenn jeder Vektor ein Nullvektor ist, dann ist die Menge der Vektoren linear unabhängig.
2. **Beurteilen Sie anhand der Rangeigenschaften**:
- Wenn der Rang einer Vektorgruppe gleich der Anzahl der Vektoren ist und die Determinante nicht Null ist, ist die Vektorgruppe linear unabhängig; wenn die Determinante Null ist , dann ist die Vektorgruppe linear unabhängig und linear verwandt.
- Wenn der Rang einer Vektorgruppe kleiner ist als die Anzahl der Vektoren, muss die Vektorgruppe linear verknüpft sein.
- Wenn für jede Matrix der Rang kleiner als die Spaltennummer ist, ist die entsprechende Spaltenvektorgruppe linear verknüpft. Wenn der Rang gleich der Spaltennummer ist, kann sie linear verknüpft oder linear unabhängig sein und muss weiter beurteilt werden durch die Determinante.
3. **Beurteilung anhand homogener linearer Gleichungen**:
- Die notwendige und ausreichende Bedingung für die lineare Korrelation von Vektorgruppen ist, dass die entsprechenden homogenen linearen Gleichungen von Null verschiedene Lösungen haben.
- Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die lineare Unabhängigkeit eines Vektorsystems ist, dass das entsprechende System homogener linearer Gleichungen Nulllösungen hat.
4. **Beurteilen Sie mithilfe der Orthogonalität**:
- Wenn die Vektoren in der Vektorgruppe orthogonal zueinander sind, d. h. das Skalarprodukt zweier verschiedener Vektoren Null ist, ist die Vektorgruppe linear unabhängig.
- Andererseits ist eine Gruppe von Vektoren linear abhängig, wenn es in der Gruppe Vektoren ungleich Null gibt, die durch andere Vektoren linear dargestellt werden können.
5. **Verwenden Sie zur Beurteilung die maximal linear unabhängige Gruppe**:
- Wenn es eine maximal linear unabhängige Gruppe gibt, kann kein Vektor in dieser Gruppe durch andere Vektoren linear dargestellt werden, und durch das Hinzufügen anderer Vektoren wird die Gruppe linear verknüpft .
6. **Sonderfallbeurteilung**:
- Die Vektorgruppe, die den Nullvektor enthält, muss linear verknüpft sein, da der Nullvektor durch jeden Vektor linear dargestellt werden kann.
- Eine Menge von Vektoren mit nur einem Nicht-Null-Vektor ist linear unabhängig, da kein Vektor diesen eindeutigen Nicht-Null-Vektor darstellen kann.
Im tatsächlichen Betrieb kann die lineare Korrelation der Vektorgruppe beurteilt werden, indem eine Koeffizientenmatrix erstellt und deren Rang berechnet wird, oder indem die Determinante direkt berechnet wird. In komplexeren Fällen kann es erforderlich sein, die Zeilenstufenform der Matrix zu verwenden oder Softwaretools für lineare Algebra zu verwenden, um die Bestimmung vorzunehmen.