DM@Lógica proposicional@Conjunto completo de conectivos

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abstracto

$funciones de verdad n$ -arias yCorrespondencia entre $fórmulas de proposiciones n -arias$
por $La función de verdad n$ -aria introduce el concepto de conjunto completo de conectivos
- Esto explica teóricamente por qué solo se usa $\neg,\vee,\wedge$ conectivos pueden expresar cualquier fórmula proposicional
- Incluso puedes usar menos conectivos (como 2 o 1) para describir cualquier fórmula proposicional.
- Los conectivos y no conectivos avanzados y /o no conectivos pueden formar de forma independiente un conjunto completo de conectivos.

juego completo de conectores

$función de verdad n$ -aria

Definición $F:\{0,1\}^{n}\to{0,1}$ es ** $función de verdad n$ -aria**
- Función La variable independiente de $F$ $n$ variables proposicionales
- Dominio ${0,1\}^{n}$ = $\{0\cdots{0},0\cdots{1},\cdots,1\cdots1\}$ , es decir, hay $0,$ La longitud de $1$ Todas las cadenas de $n$
- El rango de valores es ${0,1\}$
$n$ variables de proposición pueden formar $2^{2^{n}}$ funciones de verdaddiferentes(análogas a $2^{2^{n}}$ fórmulas de proposiciones $de n elementos$ $2^{2^{n}}$ diferentes tablas de verdad)
- Supongamos que todos El conjunto de funciones compuesto por todas $las n-$ $S (n)$
- 函数 $f_1(x_1,\cdots,x_n)\in{S(n)}$ en $2^{n}$ $2^{n}$ bajo $^{n asignaciones.}$ $2^{n}$ valores de función, denotados como $f_1(\bold{x}_1),\cdots,f_1(\bold{x}_n)$
- De manera similar, dejemos que la función $f_j$ en $2 norte 2 ^ {n}$ $2^{n}$ bajo $^{n asignaciones}$ $2^{n}$ valores de función, denotados como $f_2(\bold{x}_1),\cdots,f_2(\bold{x}_n)$
- Si existe $r\in{\{1,\cdots,2^n\}}$ 使得 $f_1(\bold{x}_r)\neq{f_2(\bold{x}_r)}$ Explique $f_1,f_2$ son funciones diferentes, de lo contrario son iguales
- 显然, $f(\bold{x}_i)$ la función tiene solo dos valores posibles (0 o 1), $ni=1,\cdots,2^{n}$ ;si especifica $f$ en $2^{n}$ El valor de la función bajo la asignación de $^{n}$ $2^{n}$ valores de función se registra como $y_1\cdots y_{2^n}$ ( $y_i\in\{0,1\}$ , $ni=1,\cdots,2^{n}$ ), entonces $2^{2^{n}}$ secuencias diferentes, correspondientes a $2^{2^{n}}$ tablas de verdad (funciones)

Cuando no es necesario discutir la función específica sino solo saber el número de sus variables, también puede consultar $La$ función de verdad de n elementos se denota como $F^{(n)}$ , si necesita distinguir diferentes funciones, especifique el subíndice: $F_{i}^{(n)}$

Por ejemplo, la función de verdad unaria tiene $2^{2^{1}}=4$ _

$x_1$	$F_ {0}^{(1)}$	$F_ {1}^{(1)}$	$F_ {2}^{(1)}$	$F_ {3} ^ {(1)}$
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

Correspondencia entre función de verdad y fórmula proposicional

Cada forma normal disyuntiva principal corresponde a infinitas fórmulas proposicionales equivalentes , y cada fórmula proposicional tiene una forma normal disyuntiva principal única y equivalente.
La forma normal conjuntiva principal es similar a la forma normal disyuntiva principal.
Cada función de verdad corresponde a un número infinito de fórmulas proposicionales equivalentes, y cada fórmula proposicional corresponde a una función de verdad única.

Juego completo de conectores.

deja que $S$ es un conjunto conectivo, si lo hay $n(n\geqslant{1})$ Todaslas funciones con valores de verdadpueden estar compuestas únicamente deLa fórmulaformada por los conectivos en $S$ se expresa como $S$ esel conjunto completo de conectivos.
$S=\{\neg,\vee,\wedge\}$ es el conjunto completo de conectivos
probar:
- cualquier $n(n\geqslant{1})$ Todas las funciones de verdad se pueden expresar como una forma normal disyuntiva principal única (función de verdad $\to$ (tabla de valores de función variable) tabla de verdad $\to$ Forma normal disyuntiva principal)
- La forma normal disyuntiva principal solo contiene $\{\neg,\vee,\wedge\}$ , entonces $S=\{\neg,\vee,\wedge\}$ es el conjunto completo de conectivos

inferencia

deja que $S$ es un conjunto completo de conectivos.
- si es $S$ agrega más conectivos para obtener $S_0$ , entonces $S_0$ También es un conjunto completo (incluyendo redundancia)
  - Por ejemplo: { $\neg,\vee,\wedge,\to$ $\neg, \lor, \land, \to$ };{ $\neg,\vee,\wedge,\to,\leftrightarrow$ $\neg, \lor, \land, \to, \leftrightarrow$ }
- Si $c_0$ en $S$ $C$ puede ser Otros conectivos en $S$ Subconjunto $S_0$ $de S$ $S$ ) significa, entonces $S_0$ También es un conjunto completo de conectivos.
  1. $S_1$ ={ $\neg,\vee$ $\neg, \lor$ }
    - Porque $qp\wedge{q}$ $\flecha izquierda derecha$ $\neg{(\neg{p}\vee{\neg{q}})}$
  2. $S_2$ ={ $\neg,\cuña$ $\neg, \land$ }
    - Porque $qp\vee{q}$ $\flecha izquierda derecha$ $\neg{(\neg{p}\wedge{\neg{q}})}$
- Si el conjunto completo de conectivo $A S$ se le puede unir otro conjunto conectivo $S_0$ El conectivo in significa la abreviatura $S$ puede ser $S_0$ significa, entonces $S_0$ También es un conjunto completo de conectivos.
  1. $S_3$ ={ $\neg,\to$ $\neg, \to$ }
    - Considerando $qp\to{q}$ $\flecha izquierda derecha$ $\neg{p}\vee{q}$ y $pp=\neg{\neg{p}}$
    - 有 $qp\vee{q}$ $\flecha izquierda derecha$ $\neg\neg{p}\vee{q}$ $\flecha izquierda derecha$ $\neg{p}\to{q}$
    - Visibles $S_3$ Puede expresar $S_2$ , entonces $S_3$ También es un conjunto completo de conectivos.

Conectivos compuestos comunes (avanzados)

y palabras que no se vinculan

Sea $pag, q$ son dos proposiciones, una proposición compuesta" $p$ y (conjunción)Negación de $q$ $(\neg{(p\wedge{q})})$ se llama $pag,$ La NANDde $q$ se escribe como $p\uparrow{q}=\neg{(p\wedge{q})}$
$\arriba$ Conjunciones síy no
Obviamente $pag, Cuando q$ no es cierto al mismo tiempo, $qp\uparrow{q}$ es verdad

pag	q	$qp\uparrow{q}$
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

o palabra no vinculante

Proposición compuesta" $p$ o (disyunción)La negación de $q$ $pag,$ La forma no ode $q$ se denota como $qp\downarrow{q}$ = $\neg(p\vee{q})$
$\flecha abajo$ palabra llamadao no conectiva
Obviamente sólo si $pag, Cuando q$ es falso al mismo tiempo, $qp\downarrow{q}$ es verdad

pag	q	$qp\downarrow{q}$
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Completitud de dos conectivos compuestos

{ $\arriba$ $↑$ },{ $↓\downarrow$ $↓$ } son todos conjuntos completos de conectivos
- $\neg{p}$ $\Leftrightarrow$ $pp\uparrow{p}$ $\flecha izquierda derecha$ $pp\downarrow{p}$
- $qp\cuña{q}$ $\flecha izquierda derecha$ $(p\uparrow{q})\uparrow({p\uparrow{q}})$
- $qp\vee{q}$ $\flecha izquierda derecha$ $(p\downarrow{q})\downarrow{(p\downarrow{q})}$
- Y porque $\{\neg,\vee\}$ , $\{\neg,\cuña\}$ , son todos conjuntos completos, por lo que la conclusión es válida