PT@Perfil de Bernoulli@Perfil clásico del perfil de Bernoulli

abstracto

• El esquema de Bernoulli es un esquema clásico que combina los conceptos de eventos independientes y n experimentos de Bernoulli.

Perfil de Bernoulli

• El concepto de Bernoulli es un tipo de concepto clásico basado en el experimento de Bernoulli.
• La igual posibilidad de este tipo de concepto se refleja en $Es\; igualmente\; probable\; que\; se\; produzcan\; los\; diversos\; resultados\; de\; la\; prueba\; de\; Bernoulli\; n-$ plex, pero las probabilidades de los dos resultados de la prueba de Bernoulli simple no son necesariamente iguales.

juicio de Bernoulli

• Si solo hay dos puntos muestrales opuestos en el espacio muestral del experimento E: $un,\overline{A}$, entonces la prueba E es una prueba de Bernoulli
• Relación de probabilidad del punto muestral: $P\left(A\right)=p$ ,则$PAG\left(\overline{A}\right)=1-pag$

ensayo de Bernoulli n veces

• Si la prueba E** se repite n veces de forma independiente , estas n veces constituyen una nueva prueba**, y esta nueva prueba se denomina nnPrueba de Bernoulli$n\; veces$
• Nota:
  • La replicación significa que $P\left(A\right)=p$ permanece sin cambios
  • Independiente significa que los resultados de cada prueba no se afectan entre sí.
    • 若$C_{}$Representa la $El\; resultado\; de\; la$ prueba de Bernoulli, entonces$C_{}\in \{un,\overline{A}\}$ ,$i=1,2,\cdots ,n$ ;且$PAG\left(C_{}\cdots C_{}\right)$ =$PAG\left(C_{}\right)\cdots PAG\left(C_{}\right)$
  • Cada vez que una prueba básica se repite n veces, se puede considerar completada una vez.n重伯努利试验
• La prueba de Bernoulli de n pliegues también se denomina perfil de Bernoulli , $Marcado\; como{E}^{norte}$

ejemplo

• Prueba ${mi}_{}$Es la cara y la cruz observables al lanzar una moneda: $un,\overline{A}$Indica que los resultados son positivos y negativos respectivamente.
• Prueba ${mi}_{}$Es tirar una pieza, si $A$ significa "obtener 1 punto",$\overline{A}$Indica obtener "ni 1 punto"
• ${mi}_{},{mi}_{}$Son todos los experimentos de Bernoulli.
• Si ${mi}_{},{mi}_{}$Cada ejecución $n$ veces, obtienen sus respectivos$Ensayo\; de\; Bernoulli\; n$ veces${mi}_1^{},{mi}_2^{}$

Espacio muestral

• ${mi}^{}$espacio muestral de ${}^n$
  • 记${Vaya}_{}$Parte $i$ resultados básicos de la prueba de Bernoulli, entonces${Vaya}_{}\in \{un,\overline{A}\}$
  • Y el resultado de una determinada prueba (punto de muestra) se puede expresar como $Vaya=\left({oh}_{}\cdots {Vaya}_{}\right)$ ;
  • Y, si ω \omegannen$\omega$Si kkaparece en$n\; pruebas\; básicas$$kAA\_$ _$A$ , entonces el resto$norte-Los\; k$ experimentos básicos son todos$\overline{A}$
  • El número de muestras en el espacio muestral es $2^{norte}$
    • ${Vaya}_{}$Hay dos valores, $i=1,\cdots ,n$ , entonces$El\; valor\; de\; \omega$ es$2^{norte}$
    • O se puede calcular así: ${\sum }_{yo=0}^{}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{}{i}\right)$ =$(1+1{)}^{norte}$ =$2^{norte}$

Divisiones importantes del espacio muestral.

• También podría poner $kth$ AA_$A$ 's${mi}^n$ ensayos se registran como eventos$B_{}$,则$B_{},B_{},\cdots ,B_{}$Forma ${mi}^{Una\; partición\; de\; n}$ espacio muestral.
• Raíz $Vaya=\left({oh}_{}\cdots {Vaya}_{}\right)$中${Vaya}_{},{Vaya}_{}$, $i\ne j$ son independientes entre sí, si$Vaya=\left({oh}_{}\cdots {Vaya}_{}\right)$ contiene$kAA\_$ _$A$ ,且$P\left(A\right)=pag,PAG\left(\overline{A}\right)=1-pag=q$ ,${mi}^{}$Punto de muestraω \omega${}^{de\; n}$$La\; probabilidad\; de\; que\; ocurra\; \omega$ es
  • $P\left(\omega \right)=P\left(o_{}\cdots {Vaya}_{}\right)={\prod }_{yo=1}^{}P\left(o_{}\right)$ =${pag}^k{q}^{norte-k}$ ,

Prueba de Bernoulli n veces exitosa k veces

• Si el resultado de la prueba de Bernoulli con un solo peso es $A$ se considera exitoso, entonces$La\; prueba\; de\; Bernoulli\; de\; n$ veces aparece$kth$ AA_$A$ se considera$k$ veces, es decir,$B_{}$ocurrir

• Evento $B_{}$El número de puntos de muestra contenidos en es $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{}{k}\right)$ , la probabilidad de ocurrencia de cada punto muestral es la misma, por lo tanto:

  • $PAG\left(B_{}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{}{k}\right){pag.}^k{q}^{norte-k}$

• Puede ser $B_{}$más la multiplicidad nn de su correspondiente prueba de Bernoulli$n$ , registrado como$B_k^{(n}$o $B_{}(n.=4)$

ejemplo

• 利用$PAG\left(B_{}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{}{k}\right){pag.}^k{q}^{n-k}$ , para calcular algunos problemas específicos

  • Supongamos que en 4 experimentos repetidos independientes, la probabilidad de que el evento A ocurra al menos una vez es 0,5904
  • Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que el evento A ocurra una vez en 3 ensayos independientes?

• desatar

  • $B_k^{}$={El evento A aparece exactamente k veces en n ensayos independientes}

  • Obviamente A aparece 0 veces en 4 experimentos repetidos independientes (correspondiente al evento $B_0^{}$La probabilidad es $1-0.5904=0.4096$

  • Nota: $P\left(A\right)=pag$ ;

  • $PAG\left(B_0^{}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{}{0}\right){pag.}^{0q}{\_}^4$ =0,4096

    • $q^4$ =$2^{12}\times 10^{-4}$ =$(2^3{)}^4\times {\left(10^{-1}\right)}^4$ =$0.8^4$
    • Resuelva para obtener $q=\mathrm{0,8}$ , entonces$pag=\mathrm{0,2}$

  • Entonces la probabilidad de que el evento A ocurra una vez en 3 ensayos independientes es:

    • $PAG\left(B_1^{}\right)$ =$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{}{1}\right){pag.}^1{q}^2=3\ast \mathrm{0,2}\ast \mathrm{0,64}=0.384$

ejemplo

• Supongamos que las probabilidades de que A y B alcancen el objetivo son $\mathrm{0,8},\mathrm{0,6}$
• Si dos personas votan 3 veces cada una, el evento es $R$ : ¿Cuál es la probabilidad de que dos personas acierten el mismo número de tiros?
  • El número de aciertos posibles es: $k$ =0,1,2,3
• 设$B_{},C_{}$:Respectivamente significa que A y B golpean $i$个球,$\{B_{};i\in I\}$ ,$\{C_{};i\in I\}$ ,$I=\{1,2,3\}$ son todas las divisiones del espacio muestral
• 则$A={\bigcup }_{yo=0}^{}{B}_{}{C}_{}$,且$\left(B_{}{C}_{}\right)\left(B_{}{C}_{}\right)=$$\left(B_{}{B}_{}\right)\left(C_{}{C}_{}\right)$ =$\varnothing$ ,$i\ne j$$;Y\; como$ B_i, C_i$ son independientes entre sí:
  • $P\left(A\right)$ =${\sum }_{yo=0}^{}PAG\left(B_{}{C}_{}\right)$ =${\sum }_{yo=0}^{}PAG\left(B_{}\right)PAG\left(C_{}\right)$ =${\sum }_{yo=0}^{}\left(\right(\genfrac{}{}{0ex}{}{}{i}\left)\mathrm{0,}{8}^y\mathrm{0,2}{\_}^{3-yo}\right)\left(\right(\genfrac{}{}{0ex}{}{}{i}\left)\mathrm{0,}{6}^y\mathrm{0,4}{\_}^{3-i}\right)$=$0.305$

ejemplo

• Lanza dos dados al mismo tiempo

  • Evento A={La suma de los puntos que aparecieron es 7}
  • Evento B={La suma de los puntos que aparecen es 9}

• Tenga en cuenta que lanzar solo una vez no significa necesariamente $un,Puede\; que\; B$ no suceda, es posible que tengas que tirar$késimo$ orden,$A$ o$B$ puede suceder

• Sea el evento C = {el evento A ocurre antes del evento B}, encuentre $¿Cuál\; es\; la\; probabilidad\; de\; que\; ocurra\; C$ ?

• Que se lance la prueba $La\; suma\; de\; los\; k$ -ésimos puntos de observación del dado, los siguientes tres eventos incluyen todos los eventos posibles del k -ésimo lanzamiento de dados, formando una división del espacio muestral

  • $A_{}$={A ocurre en el k-ésimo ensayo}

    • $P\left(A_{}\right)=\frac{}{36}=\frac{}{6}$
      • (1,6);(2,5);(3,4);(4,3),(2,5),(6,1) un total de 6 posibilidades

  • $B_{}$={B ocurre en el k-ésimo ensayo}

    • $PAG\left(B_{}\right)=\frac{}{36}=\frac{}{9}$
      • (3,6);(4,5);(5,4);(6,3) Un total de 4 posibilidades

  • $C_{}$={A y B no ocurrieron en el k-ésimo ensayo}

    • Entonces $C_{}=\overline{A_{}\cup B_{}}$= $\overline{A_{}}\overline{B_{}}$

    • $PAG\left(C_{}\right)=1-PAG\left(\overline{C_{}}\right)=1-P(A_{}\cup B_{})$ =$1-\left(P\right(A_{})+PAG(B_{})-P(A_{}{B}_{}))$

    • Desde $A_{},B_{}$Mutuamente excluyentes, $PAG\left(C_{}\right)=1-\left(P\right(A_{})+PAG(B_{}))=\frac{}{18}$

  • Evento $Las\; ocurrencias\; de\; C$ se pueden enumerar como eventos de unión de los siguienteseventos mutuamente excluyentes:

    • $A_{}$
    • $C_{}{A}_{}$
    • $C_{}{C}_{}{A}_{}$
    • $\cdots$
    • $C_{}\cdots C_{norte-}{A}_{}$
    • $\cdots$

  • 显然$A_{},\cdots ,A_{}$son eventos independientes, su probabilidad de ocurrencia es igual, ambos son $\frac{}{6}$

  • De la misma manera, $B_{},\cdots ,B_{}$La probabilidad de que ocurra es $\frac{}{9}$; $C_{},\cdots ,C_{}$La probabilidad de que ocurra es $\frac{}{18}$

  • Y $A_{},B_{},C_{}$,( $yo,j,k$ no son iguales entre sí) son independientes entre sí (es decir,$El\; resultado\; de\; la\; i$ -ésima aparición no afecta a$i+Resultados\; de\; la\; primera$ prueba y posteriores)

• $A_{},B_{},C_{},$ constituye una división del espacio muestral del k-ésimo ensayo y son mutuamente excluyentes.

• 令$T\left(k\right)=\left(\bigcap _{yo=0}^{k-}{C}_{}\right)A_{}$; $k=1,\cdots$ , y$C_{}=1$ , por ejemplo,$T\left(1\right)=A_{}$; $T\left(3\right)=C_{}{C}_{}{A}_{}$

• $$\begin{gathered} C=\bigcup _{k=1}T\left(k\right)=\bigcup _{k=1}\left(\left(\bigcap _{yo=0}^{k-}{C}_{}\right)A_{}\right) \\ T\left(i\right)T\left(j\right)=\varnothing ;i\ne j \end{gathered}$$

• 则$PAG\left(C\right)=\sum _{k=1}P\left(T\right(k))$ , y luego según las propiedades de eventos independientes$P\left(T\right(k))=\left({\prod }_{yo=1}^{k-}PAG\right(C_{}))PAG\left({UN}_{}\right)$ =$(\frac{}{18}{)}^{k-1}\frac{}{6}$

• $P\left(C\right)$ =${\sum }_{k=1}^{}(\frac{}{18}{)}^{k-1}\frac{}{6}$= $\frac{}{6}{\sum }_{k=1}^{}(\frac{}{18}{)}^{k-1}$ =$\frac{}{6}\frac{}{1-\_\frac{}{18}}$= $\frac{}{5}$

• De hecho, en cualquier experimento, $P\left(A\right)=\frac{}{6}$, $P\left(B\right)=\frac{}{9}$;Dejemos que el evento D: $A$ o$B$ ocurre; luego el evento$C$ llamado$A$ precede$La\; aparición\; de\; B$ es la aparición de AAen todos los casos de D.$A$ sucede mientras$B$ no sucede

• Así $PAG\left(C\right)=\frac{\frac{}{6}}{\frac{}{6}+\frac{}{9}}$= $\frac{}{5}$

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