1. グラフとは
以下を含む「多対多」の関係を表します
。
- 頂点のセット: V (Vertex) は通常、頂点のセットを表すために使用されます。
- エッジのセット: 通常、E (エッジ) はエッジのセットを表します。
- エッジは頂点のペアです: (v, w) ∈ E、ここで v, w ∈ V
- 有向辺 <v, w> は、v から w までの辺を表します (単線)
- 複数のエッジと自己ループは考慮されません
2. 抽象データ型の定義
- 型名: グラフ
- データ オブジェクト セット: G(V, E) は、空ではない有限頂点セット v と有限エッジ セット E で構成されます。
- 演算セット: 任意のグラフ G ∈ Graph、および v ∈ V、e ∈ E
- Graph Create(): 空のグラフを作成して返します。
- Graph InsertVertex(Graph G, Vertex v): G に v を挿入します。
- Graph InsertEdge(Graph G, Edge e): e を G に挿入します。
- void DFS(Graph G, Vertex v): 頂点 v から始まる深さ優先トラバース グラフ G;
- void BFS(Graph G, Vertex v): 頂点 v からグラフ G の幅優先走査をトリガーします。
- void ShortestPath(Graph G, Vertex v, int Dist[]): 頂点 v からグラフ G 内の他の頂点までの最短距離を計算します。
- void MST(Graph G): グラフ G の最小全域木を計算します。
- …
- データ構造におけるスパース グラフの定義は次のとおりです。エッジまたはアークがほとんどないグラフ (エッジの数 |E| が |V|² よりもはるかに小さい) はスパース グラフ (スパース グラフ) と呼ばれます。それ以外の場合はエッジの数がスパース グラフ (スパース グラフ) と呼ばれます。 |E |は |V|² に近く、密グラフ (密グラフ) と呼ばれます。
グラフの表現方法:
/* 图的邻接矩阵表示法 */
#define MaxVertexNum 100 /* 最大顶点数设为100 */
#define INFINITY 65535 /* ∞设为双字节无符号整数的最大值65535*/
typedef int Vertex; /* 用顶点下标表示顶点,为整型 */
typedef int WeightType; /* 边的权值设为整型 */
typedef char DataType; /* 顶点存储的数据类型设为字符型 */
/* 边的定义 */
typedef struct ENode *PtrToENode;
struct ENode{
Vertex V1, V2; /* 有向边<V1, V2> */
WeightType Weight; /* 权重 */
};
typedef PtrToENode Edge;
/* 图结点的定义 */
typedef struct GNode *PtrToGNode;
struct GNode{
int Nv; /* 顶点数 */
int Ne; /* 边数 */
WeightType G[MaxVertexNum][MaxVertexNum]; /* 邻接矩阵 */
DataType Data[MaxVertexNum]; /* 存顶点的数据 */
/* 注意：很多情况下，顶点无数据，此时Data[]可以不用出现 */
};
typedef PtrToGNode MGraph; /* 以邻接矩阵存储的图类型 */
MGraph CreateGraph( int VertexNum )
{
/* 初始化一个有VertexNum个顶点但没有边的图 */
Vertex V, W;
MGraph Graph;
Graph = (MGraph)malloc(sizeof(struct GNode)); /* 建立图 */
Graph->Nv = VertexNum;
Graph->Ne = 0;
/* 初始化邻接矩阵 */
/* 注意：这里默认顶点编号从0开始，到(Graph->Nv - 1) */
for (V=0; V<Graph->Nv; V++)
for (W=0; W<Graph->Nv; W++)
Graph->G[V][W] = INFINITY;
return Graph;
}
void InsertEdge( MGraph Graph, Edge E )
{
/* 插入边 <V1, V2> */
Graph->G[E->V1][E->V2] = E->Weight;
/* 若是无向图，还要插入边<V2, V1> */
Graph->G[E->V2][E->V1] = E->Weight;
}
MGraph BuildGraph()
{
MGraph Graph;
Edge E;
Vertex V;
int Nv, i;
scanf("%d", &Nv); /* 读入顶点个数 */
Graph = CreateGraph(Nv); /* 初始化有Nv个顶点但没有边的图 */
scanf("%d", &(Graph->Ne)); /* 读入边数 */
if ( Graph->Ne != 0 ) {
/* 如果有边 */
E = (Edge)malloc(sizeof(struct ENode)); /* 建立边结点 */
/* 读入边，格式为"起点 终点 权重"，插入邻接矩阵 */
for (i=0; i<Graph->Ne; i++) {
scanf("%d %d %d", &E->V1, &E->V2, &E->Weight);
/* 注意：如果权重不是整型，Weight的读入格式要改 */
InsertEdge( Graph, E );
}
}
/* 如果顶点有数据的话，读入数据 */
for (V=0; V<Graph->Nv; V++)
scanf(" %c", &(Graph->Data[V]));
return Graph;
}
リンク テーブル: G[N] は、行列の各行のリンク リストに対応するポインターの配列であり、ゼロ以外の要素のみが格納されます。
ネットワークの場合、重みを追加する構造内のドメイン。
/* 图的邻接表表示法 */
#define MaxVertexNum 100 /* 最大顶点数设为100 */
typedef int Vertex; /* 用顶点下标表示顶点,为整型 */
typedef int WeightType; /* 边的权值设为整型 */
typedef char DataType; /* 顶点存储的数据类型设为字符型 */
/* 边的定义 */
typedef struct ENode *PtrToENode;
struct ENode{
Vertex V1, V2; /* 有向边<V1, V2> */
WeightType Weight; /* 权重 */
};
typedef PtrToENode Edge;
/* 邻接点的定义 */
typedef struct AdjVNode *PtrToAdjVNode;
struct AdjVNode{
Vertex AdjV; /* 邻接点下标 */
WeightType Weight; /* 边权重 */
PtrToAdjVNode Next; /* 指向下一个邻接点的指针 */
};
/* 顶点表头结点的定义 */
typedef struct Vnode{
PtrToAdjVNode FirstEdge;/* 边表头指针 */
DataType Data; /* 存顶点的数据 */
/* 注意：很多情况下，顶点无数据，此时Data可以不用出现 */
} AdjList[MaxVertexNum]; /* AdjList是邻接表类型 */
/* 图结点的定义 */
typedef struct GNode *PtrToGNode;
struct GNode{
int Nv; /* 顶点数 */
int Ne; /* 边数 */
AdjList G; /* 邻接表 */
};
typedef PtrToGNode LGraph; /* 以邻接表方式存储的图类型 */
LGraph CreateGraph( int VertexNum )
{
/* 初始化一个有VertexNum个顶点但没有边的图 */
Vertex V;
LGraph Graph;
Graph = (LGraph)malloc( sizeof(struct GNode) ); /* 建立图 */
Graph->Nv = VertexNum;
Graph->Ne = 0;
/* 初始化邻接表头指针 */
/* 注意：这里默认顶点编号从0开始，到(Graph->Nv - 1) */
for (V=0; V<Graph->Nv; V++)
Graph->G[V].FirstEdge = NULL;
return Graph;
}
void InsertEdge( LGraph Graph, Edge E )
{
PtrToAdjVNode NewNode;
/* 插入边 <V1, V2> */
/* 为V2建立新的邻接点 */
NewNode = (PtrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode));
NewNode->AdjV = E->V2;
NewNode->Weight = E->Weight;
/* 将V2插入V1的表头 */
NewNode->Next = Graph->G[E->V1].FirstEdge;
Graph->G[E->V1].FirstEdge = NewNode;
/* 若是无向图，还要插入边 <V2, V1> */
/* 为V1建立新的邻接点 */
NewNode = (PtrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode));
NewNode->AdjV = E->V1;
NewNode->Weight = E->Weight;
/* 将V1插入V2的表头 */
NewNode->Next = Graph->G[E->V2].FirstEdge;
Graph->G[E->V2].FirstEdge = NewNode;
}
LGraph BuildGraph()
{
LGraph Graph;
Edge E;
Vertex V;
int Nv, i;
scanf("%d", &Nv); /* 读入顶点个数 */
Graph = CreateGraph(Nv); /* 初始化有Nv个顶点但没有边的图 */
scanf("%d", &(Graph->Ne)); /* 读入边数 */
if ( Graph->Ne != 0 ) {
/* 如果有边 */
E = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode) ); /* 建立边结点 */
/* 读入边，格式为"起点 终点 权重"，插入邻接矩阵 */
for (i=0; i<Graph->Ne; i++) {
scanf("%d %d %d", &E->V1, &E->V2, &E->Weight);
/* 注意：如果权重不是整型，Weight的读入格式要改 */
InsertEdge( Graph, E );
}
}
/* 如果顶点有数据的话，读入数据 */
for (V=0; V<Graph->Nv; V++)
scanf(" %c", &(Graph->G[V].Data));
return Graph;
}
で
typedef struct Vnode{
PtrToAdjVNode FirstEdge;/* 边表头指针 */
DataType Data; /* 存顶点的数据 */
/* 注意：很多情况下，顶点无数据，此时Data可以不用出现 */
} AdjList[MaxVertexNum]; /* AdjList是邻接表类型 */
//AdjList是一个Vnode为元素的数组的别名
グラフの次数は、頂点に関連付けられたエッジの数です。
3、グラフの走査
3.1 深さ優先アルゴリズム
隣接リスト
/* 邻接表存储的图 - DFS*/
void Visit(Vertex V)
{
printf("Now visit Vertex %d\n", V);
}
/* Visited[]为全局变量，已经初始化false */
void DFS(LGraph Graph, Vertex V, void (*Visit)(Vertex))
{
/* 以V为出发点对邻接表存储的图Graph进行DFS搜索 */
PtrToAdjVNode W;
Visit(V); /* 访问第V个顶点 */
Visited[V] = true; /* 标记V已访问 */
for(W=Graph->G[V].FirstEdge;W;W=W->Next) /* 对V的每个邻接点W->AdjV */
if(!Visited[W->AdjV]) /* 若W->AdjV未被访问 */
DFS(Graph, W->AdjV, Visit); /* 则递归访问之 */
}
隣接行列
void Visit(Vertex V)
{
printf("Now visit Vertex %d\n", V);
}
void DFS(MGraph Graph, Vertex V, int *Visited)
{
Vertex W;
Visit(V);
Visited[V] = 1; //已访问
for(W=0;W<Graph->Nv;W++)
if(Graph->G[V][W]==1 && Visited[W]==0)
DFS(Graph, W, Visited);
}
3.2 幅優先アルゴリズム
隣接行列
/* 邻接矩阵存储的图 - BFS */
/* IsEdge(Graph, V, W)检查<V, W>是否图Graph中的一条边，即W是否V的邻接点 */
/* 此函数根据图的不同类型要做不同的实现，关键取决于对不存在的边的表示方法 */
/* 例如对有权图，如果不存在的边被初始化为INFINITY，则函数实现如下： */
bool IsEdge(MGraph Graph, Vertex V, Vertex W)
{
return Graph->G[V][W]<INFINITY?true:false;
}
/* Visited[]为全局变量，已经初始化为false */
void BFS(MGraph Graph, Vertex S, void(*Visit)(Vertex))
{
/* 以S为出发点对邻接矩阵存储的图Graph进行BFS搜索 */
Queue Q;
Vertex V, W;
Q = CreateQueue(MaxSize); /* 创建空队列，MaxSize为外部定义的常数 */
/* 访问顶点S:此处可根据具体访问需要改写 */
Visit(S);
Visited[S] = true; /* 标记S已访问 */
AddQ(Q, S); /* S入对列 */
while(!IsEmpty(Q)) {
V = DeleteQ(Q); /* 弹出V */
for(W=0;W<Graph->Nv;W++) /* 对图中的每个顶点W */
/* 若W是V的邻接点并且未访问过 */
if(!Visited[W] && IsEdge(Graph, V, W)) {
/* 访问顶点W */
Visist(W);
Visited[W] = true; /* 标记W已访问 */
AddQ(Q, W); /* W入队列 */
}
} /* while结束 */
}