"Análisis Numérico" -0-Conocimientos Básicos

0. Antecedentes

El objetivo principal del análisis numérico es ilustrar y discutir métodos para resolver problemas matemáticos en una computadora. Las operaciones aritméticas más básicas son la suma y la multiplicación, y los polinomios son la base sobre la que construimos las técnicas informáticas.

Una cuestión importante en el análisis numérico es concienciar al usuario del peligro de que los cálculos no sean fiables debido a pequeños errores cometidos por la computadora, y saber cómo evitar o minimizar dicho peligro.

 1. Evaluación polinómica

Un polinomio general de orden d se puede resolver mediante d multiplicaciones y d sumas, y el método de construcción específico es la multiplicación anidada/método de Horner.

2. Decimal y binario

La forma más sencilla de convertir decimal a binario y binario a decimal es tratar la parte entera del número por separado de la parte fraccionaria.

Al convertir binario a decimal, si la parte fraccionaria no es una expansión finita basada en 2, es necesario utilizar la función de conversión de traducción por 2.

3. Truncamiento y redondeo

Truncamiento: se logra simplemente descartando los dígitos fuera del final, pero este método moverá el resultado hacia 0, que es un método sesgado.

Redondeo: determine si redondear hacia arriba o hacia abajo juzgando el primer dígito fuera del espacio de dígitos dado. Elija aleatoriamente redondear hacia arriba o hacia arriba cuando haya un empate, evitando cambios lentos no deseados en cálculos largos debido al redondeo sesgado.

4. Faltan cifras significativas

Al calcular, a veces es inevitable provocar la falta de cifras significativas, como restar explícitamente dos números aproximadamente iguales, especialmente al resolver ecuaciones cuadráticas. Ante esta situación, normalmente se puede evitar reconstruyendo la ecuación. La multiplicación por "ecuaciones conjugadas" es un truco para refactorizar cálculos. 

5. Aproximación de Taylor

La aproximación de Taylor es fundamental para aprender muchas técnicas computacionales. La idea principal es que si  se conoce el valor de la función en el punto, también se puede conocer mucha información sobre la función cerca del punto (siempre que la función sea continua, podemos usar todas las derivadas en el punto para dar todas estimaciones aproximadas de la función cerca del punto). La diferencia con su aproximación en el punto es el resto de Taylor.