C/C++ Grupo A Pregunta H de la 14ª Competición Provincial Copa Lanqiao - XOR y Sum (AC)

1. XOR y suma

1. Descripción del tema

Dada una matriz $A_{}$, encuentre la suma XOR de cada uno de sus subsegmentos y encuentre su suma. En otras palabras, para cada grupo que satisface $1\le L\le R\le n$ L$L,R$ , encuentre el$L$ aRRSuma XOR de$elementos\; R.$Luego emita cada conjunto de$L,$La suma de los resultados obtenidos por$R.$

2. Formato de entrada

La primera línea de entrada contiene un número entero $norte$ _

La segunda línea contiene $n$ enteros$A_{}$, separados por un espacio entre enteros adyacentes.

3. Formato de salida

Muestra una línea que contiene un número entero que representa la respuesta.

4. Entrada de muestra

5
1 2 3 4 5

5. Salida de muestra

39

6. Rango de datos

Por $30\%$ de los casos de evaluación,$norte\le 300$ ;

Para $60\%$ de los casos de evaluación,$norte\le 5000$ ;

Para todos los casos de evaluación, $1\le norte\le 10^5$，$0\le A_{}\le 2^{20}$ _

7. Enlace al título original

XOR y suma

2. Ideas para resolver problemas

Primero, enumere violentamente cada subintervalo $[yo,r]$ $(1\le yo\le r\le n)$ , la complejidad será$O\left(n^2\right)$, no puede pasar esta pregunta, pero puede obtener un puntaje determinado.

Dado que se trata de una operación XOR y observando $a_{}$El rango de valores es $[0,2^{20}]$, no nos resulta difícil pensar el problema desde la perspectiva del "desmontaje". Suponga que para el i-ésimo ∈ [ 0 , 20 ] i \in[0,20]del bit binario$i\in [0,20]$ bits, hay$La\; suma\; XOR\; de\; los\; x$ subintervalos en este bit es$1$ , entonces la contribución de este bit a la respuesta es$2^i\times x$ _ De esta manera, dividimos todo el gran problema en$20$ subpreguntas, la matriz original es equivalente a ser dividida en 20 20por nosotros$20$ 01$01$ matriz.

Para cada subpregunta, es decir, para cada $01$ , necesitamos averiguar cuántos sub-arreglos cuya suma XOR es$1$ , que es encontrar el xxmencionado anteriormente$x$ _ Podemos resolver este problema con el prefijo XOR. Establecer aquí$01$ matriz es$una$ matriz, configuramos otro$S$ pares,$S_{}$significa $una$ matriz antes deii¿Cuál es la suma XOR de$i\; elementos?$Según la naturaleza de la operación XOR:

$$a_{}\oplus a_{yo+}\oplus \cdots \oplus a_{j-}\oplus a_{}=({un}_{}\oplus a_{}\oplus \cdots a_{})\oplus ({un}_{}\oplus a_{}\oplus \cdots \oplus a_{yo-})$$

Aplique la fórmula anterior a $S$ se reemplaza por:

$$a_{}\oplus a_{yo+}\oplus \cdots \oplus a_{j-}\oplus a_{}=S_{yo-}\oplus S_{}$$

Si quieres que el lado izquierdo de la ecuación sea igual a $1$ , lo que significa$S_{yo-}\ne S_{}$。

De acuerdo con el análisis anterior, podemos enumerar cada $01$ El prefijo XOR matriz$S$ , cuando enumeramos a$S_{}$, solo necesitamos considerar cuántos $S_{}$A diferencia de él, los diferentes números son iguales a $a_{}$final y suma XOR es 1 1El número de subarreglos de$1\; ,\; podemos\; usar\; la\; tabla\; hash\; para\; realizar\; la\; función\; de\; contar\; el\; número.$

De esta manera podemos correr cerca de $La\; complejidad\; de\; O\left(n\right)$ cuenta cada$01$ Subintervalo de matriz XOR es$El\; número\; de\; 1$ , establecemos elii01 01$de\; i$ dígitos binarios$01$ Subintervalo de matriz XOR es$El\; número\; de\; 1$ es$b_{}$, la respuesta final es:

$$\sum _{yo=0}{2}^i\times b_{}$$

Complejidad del tiempo: $O(20\times n)$。

3. Código_AC

• C++

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 100010;

int n;
int a[N][25];
int main()
{
    
    
	ios_base :: sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    
    
		int x;
		cin >> x;
		for (int j = 0; j <= 20; ++j) {
    
    
			a[i][j] = (x >> j) & 1;
			a[i][j] ^= a[i - 1][j];
		}
	}
	LL ans = 0;
	for (int j = 0; j <= 20; ++j) {
    
    
		map<int, int> m;
		m[0]++;
		for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    
    
			int x = m[a[i][j] ^ 1];
			ans += 1LL * (1 << j) * x;
			m[a[i][j]]++;
		}
	}
	cout << ans << '\n';
	return 0;
}

• Java

import java.util.*;

public class Main {
    
    
    static final int N = 100010;

    public static void main(String[] args) {
    
    
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        int n = scan.nextInt();
        int[][] a = new int[N][25];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    
    
            int x = scan.nextInt();
            for (int j = 0; j <= 20; ++j) {
    
    
                a[i][j] = (x >> j) & 1;
                a[i][j] ^= a[i - 1][j];
            }
        }
        long ans = 0;
        for (int j = 0; j <= 20; ++j) {
    
    
            Map<Integer, Integer> m = new HashMap<>();
            m.put(0, 1);
            for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    
    
                int x = m.getOrDefault(a[i][j] ^ 1, 0);
                ans += (1L << j) * x;
                m.put(a[i][j], m.getOrDefault(a[i][j], 0) + 1);
            }
        }
        System.out.println(ans);
    }
}

• Pitón

n = int(input())
N = 100010
a = [[0] * 25 for _ in range(N)]
b = list(map(int, input().split()))
for i in range(1, n + 1):
    x = b[i-1]
    for j in range(21, -1, -1):
        a[i][j] = (x >> j) & 1
        a[i][j] ^= a[i - 1][j]
ans = 0
for j in range(21, -1, -1):
    m = {
    
    0: 1}
    for i in range(1, n + 1):
        x = m.get(a[i][j] ^ 1, 0)
        ans += (1 << j) * x
        m[a[i][j]] = m.get(a[i][j], 0) + 1
print(ans)