Продвинутая математика Разное 1

некоторые формулы

Смена длинного бара на короткий, изменение направления открытия

На самом деле это означает следующее

$$\overline{С\cap Д}"="\overline{С}\cup \overline{Д}$$

---

Дифференцируемое должно быть дифференцируемым, дифференцируемое должно быть дифференцируемым

Оба являются необходимыми и достаточными условиями друг для друга

---

Дифференцируемое должно быть непрерывным, но непрерывное может не быть дифференцируемым. Непрерывное должно быть интегрируемым, дифференцируемое не обязательно может быть интегрируемым.

В качестве отступления, должен быть предел непрерывности.

Еще одно отступление, выдернул из интернета 42 формулы.Поскольку интернет скопировал друг друга и не указал источник, узнать настоящий источник здесь невозможно:

1. Пять элементов функциональной концепции определяют ядро ​​отношений.
2. Сегментация точек сегмента функции, левая и правая операции должны быть выполнены в первую очередь.
3. Интеграл с переменными пределами — это функция, и при встрече она будет выведена первой.
4. Часто встречаются нечетные и четные функции, и нельзя забывать о симметричности.
5. Для монотонного увеличения и уменьшения сначала вычислите положительные и отрицательные производные.
6. Положительные и отрицательные функции используются постоянно, и в конце остаются только исходные переменные.
7. Если на один шаг не удается передать эстафету, будет принято окончательное решение.
8. Предел равен нулю и бесконечно мал, а умножение конечного по-прежнему бесконечно мало.
9. Функция возведения в степень является самой сложной, в ней показатель степени и логарифм складываются.
10. Неопределенный лимит семи видов, послойная обработка L'Hopital.
11. Предельная последовательность Haupitus должна быть преобразована в непрерывную форму.
12. Предел номерной серии находится в безвыходном положении, и конверсионные баллы видят свет.
13. Бесконечность больше бесконечности, и член высшего порядка делится вверх и вниз.
14. Сначала добавляются и объединяются n элементов, и нельзя оценить верхнюю и нижнюю границы.
15. Первое сокровище замены переменных, найдите его, упрощая и упрощая.
16. Чтобы найти предел рекурсивного ряда, нужно сначала доказать, что монотон ограничен, а пределы в обе стороны получаются вместе, а значение находится в уравнении.
17. Необходимо продемонстрировать, что функция равна нулю, а теорема о промежуточном значении определяет вселенную.
18. Наклон касательной — это производная, а наклон нормали — это отрицательная обратная величина.
19. Дифференцируемое и дифференцируемое эквивалентны друг другу, и оба они сильнее, чем непрерывные.
20. Нужно вычислить рациональные функции, и первой должна идти самая простая дробь.
21. Необходимо рассчитать треугольник высшего порядка, и сначала открывается нисходящий порядок.
22. Производная — это аргумент нулевого желания, и теорема Ролля несет большую ответственность.
23. Для дифференциальной производной функции теорема Лапласа демонстрирует свою магическую силу.
24. Сумма производной функции (комбинация) равна нулю, вспомогательная функция использует функцию Ролля.
25. Поиск ξ η осуществляется без ограничений, а Coxilla последовательно.
26. Найдите ξ η с ограничениями и используйте Лапласа для двух интервалов.
27. Конечная точка, точка торможения, непроводящая точка и максимальное значение среди значений функции.
28. Касательная выпукло-вогнутой направлена ​​вверх и вниз, а выпукло-вогнутое преобразование находится в точке перегиба.
29. Численное неравенство трудно доказать, и первым идет функциональное неравенство.
30. Часто используется первый обмен, и формулу дифференциала необходимо запомнить.
31. Второй элемент обмена удаляет корневой знак, и можно полагаться на стандартный режим.
32. Интеграл по частям трудно изменить, и это ключ к вычислению u и v.
33. Интегрируйте две переменные с переменными пределами, сначала найдите частную производную, а затем найдите производную.
34. Сочетая определенные точки и реинтегрируя точки, в огромном мире есть чем заняться.
35. Дифференциальные уравнения нуждаются в стандартизации, преобразовании, выводе и обращении функций.
36. Многовариантное соединение, чтобы найти частную производную, не следует забывать цепную формулу.
37. Вычисляется частная производная многомерной неявной функции, а перекрестная частная производная добавляется с отрицательным знаком.
38. Для вычисления кратных интегралов ключевыми являются повторяющиеся интегралы.
39. Порядок обмена очков должен быть сначала преобразован в двойные очки.
40. Бесконечные ряды не являются таинственными, частичными и постнаходящими пределами.
41. Дискриминантный метод положительного ряда, сравнение, отношение и значение корня.
42. Есть приемы для суммирования степенных рядов, формул, соотношений и уравнений столбца.

---

вывод функции

правило вывода

Это немного похоже на школьные знания, кажется, я забыл

$$\left(ж\right(х)\pm г(х){)}^{\prime }"="{ф}^{\prime }(х)\pm {г}^{\prime }(Икс)$$
$$\left(ж\right(Икс)\cdot г(х){)}^{\prime }"="{ф}^{\prime }(х)\cdot г(х)+ж(Икс)\cdot {г}^{\prime }(Икс)$$
$$(\frac{ф(х}{г\left(х\right)}{)}^{\prime }"="\frac{{ф}^{\prime }\left(х\right)\cdot г\left(х\right)-ж\left(Икс\right)\cdot {г}^{\prime }(х}{{г}^2\left(х\right)}$$
$$(\frac{}{ж\left(х\right)}{)}^{\prime }"="\frac{-{ф}^{\prime }(х}{{ф}^2\left(х\right)}$$

Стационарный

Точка торможения — это точка, в которой первая производная функции равна 0.

(Картинка взята из "Элементов математики" | Iris Book )

Найдите предел

Методы, которые можно использовать для нахождения предела (могут использоваться комплексно)

1. Начните с основного определения (согласно ${\mathrm{лим}}_{\Delta х\to }\frac{ж(х+\Delta х)-ж(х}{\Delta х\_}$упрощенный)
2. Из анализа геометрических соотношений (основные ${Икс}^2$ вид вывода)
3. L'Hopital (применяется при определенных обстоятельствах)
4. Теорема зажима (как правило, для зажима необходимо масштабировать обе стороны)
5. масштабирование (с использованием неравенств)

$dx$是$\Delta x$ стремится к точному значению 0 ($\Delta$ ориентировочно,$d$ точное значение)

Ведущий должен быть непрерывным, непрерывный может не быть ведущим

(Картинка взята из "Элементов математики" | Iris Book )

график функции

экстремум

Дифференцируемая точка первого порядка - необходимое условие экстремума (теорема Ферма).

Второе достаточное условие для оценки экстремума$Посмотрите\; на\; f\; \prime \; \prime \left(x\right)$ f ''(x)в критической точке${ф}^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)$，若${ф}^{"}\left(х\right)>0$ является минимальным значением, если${ф}^{"}\left(х\right)<0$ - максимальное значение

---

Это означает, что если вы ищете экстремум в соответствии с критической точкой, вы должны смотреть на производную второго порядка, чтобы судить, какой экстремумом является критическая точка.

Нахождение экстремального значения неявной функции

Сначала выведите производную первого порядка в соответствии с неявной функцией и подставьте ${у}^{\prime }"="0$ , чтобы получить$у"="Относительное\; выражение\; f\left(x\right)$ , относительное выражение может быть заменено исходной неявной функцией, чтобы получить точку, которая является стационарной точкой, а затем использовать производную первого порядка, чтобы найти производную второго порядка, и решить, какая вид экстремума (крайнее максимальное значение/минимальное значение)

Выпуклость

Дуга вогнута ниже хорды, а дуга выпукла выше хорды. Оценка выпуклости зависит от положительной и отрицательной производной второго порядка,Положительная вогнутая Отрицательная выпуклая

точка перегиба

Точка вывода второго порядка является необходимым условием для точки перегиба (противоположный знак точки вывода второго порядка - точка перегиба)

Точка перегиба является границей между вогнутой дугой и выпуклой дугой, и выводимость точки не имеет обязательного отношения к тому, является ли она точкой перегиба. Точка, которую нужно найти, может быть неопределенной точкой (например, знаменатель не может быть равен нулю) или точкой, производная второго порядка которой равна 0. Поскольку основным условием оценки является то, имеют ли две стороны разные числа, вы должны проверить это после того, как найдете его (иногда оно может не отличаться).

изображение функции

Асимптоты, если они есть, должны быть построены.

кривизна

Есть два случая, обычные уравнения и параметрические уравнения.

$$К"="\frac{|{у}^{|}}{(1+{у}^2{)}^{\frac{}{2}}}$$

$$К"="\frac{|{х}_{т}^{}{у}_{т}^{}-{Икс}_{т}^{}{у}_{т}^{}}{({х}_{т}^{}+{у}_{т}^{}{)}^{\frac{}{2}}}$$

функция возведения в степень

Функция индекса мощности является элементарной функцией, в основном запомните формулу:

$${ты}^{в}"="{е}^{влнты}$$
$$ты(х{)}^{v\left(х\right)}"="{е}^{v\left(х\right)лнты\left(Икс\right)}$$
$${Икс}^{Икс}"="{е}^{ИкслнИкс}$$

---

Пример: нарисовать $Икс>0$ функция времени${Икс}^{}$приблизительное изображение${}^x$

① Посмотрите на левую и правую границы домена.: Согласно $Иксе(,+\infty )$：

$$\underset{х\to 0^{+}}{}{Икс}^{Икс}"="{е}^{{ям\_}_{х\to 0^{}}ИкслнИкс}"="{е}^0"="1$$

$$\underset{х\to +\infty }{}{Икс}^{Икс}"="+\infty$$

② Вывод, чтобы увидеть монотонность：

$$({х}^{х}{)}^{\prime }"="({е}^{Икслнх}{)}^{\prime }"="\left({е}^{Икслнх}\right)(хпх{)}^{\prime }"="{Икс}^{х}(\mathrm{пер}Икс+1)$$

найти, что $Икс"="\frac{}{е}$Является ли производная 0 точкой, легко найти $(0,\frac{}{е})$ производная меньше 0, монотонно убывает, правая часть$(\frac{}{е},+\infty )$ производная больше 0, монотонно возрастающая.

附：$$\underset{х\to 0^{+}}{}ИкспИкс"="\underset{х\to 0^{+}}{}\frac{п}{1/х}$$

Согласно правилу Лопиталя, предел равен 0.