Abgeleitete Übung mit großen Fragen (echte Fragen der College-Aufnahmeprüfung 2023)

Bekannte Funktion $f\left(x\right)=zu(z^X+a)-x$
(1) Diskutieren Sief ( x ) f(x)Die Monotonie von$f$$($$x$$)$
(2) beweist, dass$A>Wenn\; 0$ , überprüfen Sie:$f\left(x\right)>2\ln A+\frac{}{2}$

Lösung:
\quad(1) $F^{\prime }\left(x\right)=ein{e}^X-1$

\qquad① $A>0$时，$X=-\ln Wenn$ a$F^{\prime }\left(x\right)=0$

$f\left(x\right)$ in$[-\ln ein,+\infty )$ , monoton wachsend auf$(-\infty ,-\ln a]$ auf monoton fallend

\qquad② $A\le 0$ ,$f\left(x\right)$ bei$(-\infty ,+\infty )$ monoton fallend

\quad(2) Aus (1) ergibt sich $X=-\ln a$ wenn$f\left(x\right)$ nimmt den Minimalwert an

\qquadDer Titel lautet Beweis $f(-\ln a)>2\ln A+\frac{}{2}$

\qquad即$1+A^2-\ln A>2\ln A+\frac{}{2}$，$A^2-3\ln A-\frac{}{2}>0$

\qquad令$g\left(a\right)=A^2-3\ln A-\frac{}{2}$，则$G^{\text{'}}\left(ein\right)=2a\_-\frac{}{A}$

\qquad当$A=\frac{\sqrt{6}}{2}$Wenn $G^{\text{'}}\left(ein\right)=0$

$g\left(a\right)$ in$[\frac{\sqrt{6}}{2},+\infty )$ , monoton ansteigend bei$(-\infty ,\frac{\sqrt{6}}{2}]$ auf monoton fallend

\qquadSei $g\left(a\right)\ge g\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)=1-\ln \frac{3\sqrt{6}}{4}>0$

\qquad即$A^2-3\ln A-\frac{}{2}>0$

\qquadDaraus erhalten wir $f\left(x\right)>2\ln A+\frac{}{2}$