AcWing-900.Целочисленное деление (java реализация)

AcWing-900 Целочисленное деление

описание темы

Натуральное число n может быть представлено в виде суммы нескольких положительных целых чисел, например: n=n1+n2+…+nk, где n1≥n2≥…≥nk, k≥1.

Мы называем такое представление делением натурального числа n.

Теперь, учитывая положительное целое число n, выясните, сколько различных способов деления существует для n.

формат ввода

Всего одна строка, содержащая целое число n.

Выходной формат

Всего одна строка, содержащая целое число, обозначающее общее количество делений.

Поскольку ответ может быть очень большим, пожалуйста, возьмите по модулю 10 ^ 9 + 7 для выходного результата.

диапазон данных

1≤n≤1000

Входной образец:

5

Пример вывода:

7

Идеи (простая версия)

$$Государственноепредставительство:f(i,ж),Указывает\; навсеметоды,которыемогутбытьнаписаныjот1i$$

$$Атрибут:Количество$$

$$ядро:Неберитепоследнеечислоiинеберитеkчиселизаписывайтеегокак\; j.$$

$$государственноеделение:ж(я-1,к)взять0я,\_1я\_\dots \dots ,kястановлюсьж(я,\_ж)$$

Уравнение перехода состояний может быть получено делением состояний:
$$ф(я,ж)"="ж(я-1,ж)+ж(я-1,Дж-я)+ж(я-1,Дж-2и)\_+\dots \dots +ж(я-1,Дж-кя)$$

$$ф(я,Дж-я)"="ж(я-1,Дж-я)+ж(я-1,Дж-2и)\_+\dots \dots +ж(я-1,Дж-кя)$$

Вычтите конечное уравнение перехода состояния
$$ф(я,ж)"="ж(я-1,ж)+ф(я,Дж-я)$$

основной код

		for(int i=1;i<=n;i++) {
    
    
			for(int j=0;j<=n;j++) {
    
    
	            dp[i][j] = dp[i - 1][j] % MOD; //	如果容量j小于i的话，不能对i进行选择。
	            if (j >= i) {
    
    	//只有容量j大于等于i时，才能对i的选择多少进行讨论
					dp[i][j] = (dp[i-1][j]+dp[i][j-i]) % MOD;
	            }
			}
		}

полный код

package acWing900;
import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.StreamTokenizer;
public class Main {
    
    
	static int N = 1010,MOD = (int) (1e9+7);
	static int n;
	static int dp[][] = new int[N][N];
	public static void main(String[] args) throws Exception{
    
    
		Read r = new Read();
		n = r.nextInt();
		for(int i=1;i<=n;i++) {
    
    
			dp[0][i] = 0;	//	当容量为i有0个物品一个则没有方案。
		}
		for(int i=0;i<=n;i++) {
    
    
			dp[i][0] = 1;	//	当容量为0前i个物品一个不选也是一种方案。
		}
		// 特殊 dp[0][0] = 1
		for(int i=1;i<=n;i++) {
    
    
			for(int j=0;j<=n;j++) {
    
    
	            dp[i][j] = dp[i - 1][j] % MOD; //	如果容量j小于i的话，不能对i进行选择。
	            if (j >= i) {
    
    	//只有容量j大于等于i时，才能对i的选择多少进行讨论
					dp[i][j] = (dp[i-1][j]+dp[i][j-i]) % MOD;
	            }

			}
		}
		System.out.println(dp[n][n]);
	}
class Read{
    
    
	StreamTokenizer st = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
	public int nextInt() throws Exception{
    
    
		st.nextToken();
		return (int)st.nval;
	}
}

Уменьшение размерности (с использованием скользящих массивов)

Комбинированное уравнение перехода в конечное состояние
$$ф(я,ж)"="ж(я-1,ж)+ф(я,Дж-i)$$
В соответствии с уравнением состояния необходимо использовать только текущую строку и предыдущую строку, поэтому можно использовать концепцию скользящего массива для сведения двумерного изображения к одномерному, а именно: f ( j ) = f
$$ж\left(дж\right)"="ж\left(дж\right)+ж(й-я)$$

Основной код:

		for(int i=1;i<=n;i++) {
    
    
			for(int j=i;j<=n;j++) {
    
    
				dp[j] = (dp[j]+dp[j-i]) % MOD;
			}
		}

Полный код:

package acWing900;
import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.StreamTokenizer;
public class Main {
    
    
	static int N = 1010,MOD = (int) (1e9+7);
	static int n;
	static int dp[] = new int[N];
	public static void main(String[] args) throws Exception{
    
    
		Read r = new Read();
		n = r.nextInt();
		dp[0] = 1;
		for(int i=1;i<=n;i++) {
    
    
			for(int j=i;j<=n;j++) {
    
    
				dp[j] = (dp[j]+dp[j-i]) % MOD;
			}
		}
		System.out.println(dp[n]);
	}
}
class Read{
    
    
	StreamTokenizer st = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
	public int nextInt() throws Exception{
    
    
		st.nextToken();
		return (int)st.nval;
	}
}