La tasa de rendimiento porcentual de un solo período de un objetivo de inversión satisface
y
Su interés compuesto continuo correspondiente se puede expresar como
La expansión de Taylor de este interés compuesto continuo y manteniendo el término de segundo orden es fácil de obtener:
Según el criterio de Kelly, los inversores buscan maximizar la tasa de rendimiento logarítmica ajustando el índice de apalancamiento. Recordando el índice de apalancamiento , la media y la desviación estándar se convierten en la suma , y la tasa de rendimiento logarítmica se convierte en la suma . Derivarlo para obtener el índice de apalancamiento óptimo:
Bajo este índice de apalancamiento óptimo, la tasa de rendimiento esperada del inversionista es
y
Neutralidad al riesgo bajo rendimientos logarítmicos
De hecho, el proceso de convertir la tasa de rendimiento porcentual en una tasa de rendimiento logarítmica refleja el papel del riesgo como costo. Debido a la existencia de riesgos, el apalancamiento óptimo reducirá el riesgo en consecuencia para controlar los riesgos. Sin embargo, bajo la medida de retorno logarítmico transformado, el criterio básico de Kelly contiene la propiedad de neutralidad al riesgo. Aunque el riesgo existe bajo esta medida, no puede proporcionar una prima de riesgo adicional (expresada por la tasa de rendimiento logarítmica).
Sin embargo, en la operación real, la mitad del apalancamiento óptimo a menudo se usa para controlar aún más el riesgo, es decir,
En este caso, la tasa de rendimiento óptima es
Se puede ver que el ratio de apalancamiento se ha reducido mucho, pero el impacto en la tasa de retorno no es significativo.
Considere el costo de capital
Considere que existe un costo de capital libre de riesgo . Cuando el índice de apalancamiento es mayor a 1, el costo es un pago libre de riesgo, y cuando el índice de apalancamiento es menor a 1, es un beneficio libre de riesgo.
Entonces, considerando la tasa logarítmica de retorno del apalancamiento es
Encuentre la relación de apalancamiento óptima
La tasa de rendimiento porcentual óptima calculada al traer de vuelta es
Aún no ha terminado, asumimos que esta tasa de rendimiento debe ser equivalente a la tasa de rendimiento libre de riesgo, entonces
Ordene la fórmula anterior para obtener
¿Qué significa la fórmula anterior? La incertidumbre determina su precio.
Si la mitad del apalancamiento óptimo todavía se usa en el nivel práctico, significa que
Nuevamente, casi lo mismo que la solución óptima.
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