【剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列】

题目描述：

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/fei-bo-na-qi-shu-lie-lcof

• 写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项（即 F(N)）。斐波那契数列的定义如下：。

F(0) = 0,   F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.

• 斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。
• 答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例：

• 示例1：

输入：n = 2
输出：1

• 示例2：

输入：n = 5
输出：5

• 提示：

            0 <= n <= 100

解题思路：动态规划

斐波那契数的边界条件是 F(0)=0;F(1)=1。当 n>1 时，每一项的和都等于前两项的和，因此有如下递推关系：
F(n)=F(n−1)+F(n−2)
由于斐波那契数存在递推关系，因此可以使用动态规划求解。动态规划的状态转移方程即为上述递推关系，边界条件为 F(0) 和 F(1)。

• 根据状态转移方程和边界条件，可以得到时间复杂度和空间复杂度都是 O(n) 的实现。由于F(n) 只和 F(n−1) 与 F(n−2) 有关，因此可以使用「滚动数组思想」把空间复杂度优化成 O(1)。

• 计算过程中，答案需要取模 1\text{e}9+71e9+7。

代码

python # 官方解题思路

class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
        MOD =10**9+7;
        if n<2: return n;
        a,b,c =0,0,1;
        for i in range(2,n+1):
            a = b;
            b = c;
            c = (a+b)% MOD;
        return c;

c++ 官方解题

class Solution {
    
    
public:
    int fib(int n) {
    
    
        int MOD =1000000007;
        if (n<2){
    
    
            return n;
        }
        int a= 0,b= 0,c =1;
        for(int i=2;i<=n;++i){
    
    
            a = b;
            b = c;
            c =  (a+b)% MOD;
        } 
        return c;
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)

• 空间复杂度：O(1)