【问题描述】
题目来源：树状数组 2 - 洛谷
已知一个数列，你需要进行下面两种操作：
1. 将某区间每一个数都加上 x；
2. 求出某一个数的值。
【输入格式】
第一行包含两个整数 N、M，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。
第二行包含 N 个用空格分隔的整数，其中第 i 个数字表示数列第 i 项的初始值。
接下来 M 行每行包含 2 或 4个整数，表示一个操作，具体如下：
操作 1： 格式：1 x y k 含义：将区间 [x,y] 内每个数加上 k；
操作 2： 格式：2 x 含义：输出第 x 个数的值。
【输出格式】
输出包含若干行整数，即为所有操作 2 的结果。
【输入输出样例】
输入：
5 5
1 5 4 2 3
1 2 4 2
2 3
1 1 5 -1
1 3 5 7
2 4
输出：
6
10
【数据规模与约定】
对于 30% 的数据：N≤8，M≤10；
对于 70% 的数据：N≤10000，M≤10000；
对于 100% 的数据：1≤N，M≤500000，1≤x，y≤n，保证任意时刻序列中任意元素的绝对值都不大于 2^30 。
【算法分析】
树状数组基本知识参见：树状数组介绍_hnjzsyjyj的专栏-CSDN博客
树状数组的经典操作是“单点更新，区间查询”。那么在遇到“洛谷P3368”等“将区间 [x,y] 内每个数加上 k，输出第 x 个数的值”等“区间更新，单点查询”的问题时，怎么办？这就需要利用差分的思想，将“单点更新，区间查询”问题转换为熟悉的“区间更新，单点查询”问题求解。
具体方案为：设原数组为 A[i]，定义差分数组 D[i]=A[i]−A[i−1]，便可将对数组A[]的“区间更新”操作转化为对差分数组D[]的两次“单点更新”操作。也就是说，此时要将差分数组D[]作为新的原数组构建新的树状数组并实现相关操作。则在新的树状数组中对差分数组D[]的特定“点更新”操作将等效于对原来的原数组A[]所要求进行的“区间更新”操作。要注意，树状数组的下标从1开始，则A[0]空置未用，故有 A[0]=0。
同时，依据差分数组的定义 D[i]=A[i]−A[i−1] 可知，
D[1]=A[1]−A[0]
D[2]=A[2]−A[1]
D[3]=A[3]−A[2]
......
D[i]=A[i]−A[i-1]
上面各式子相加，可得D[1]+D[2]+D[3]+...+D[i]=A[i]-A[0]，又由于A[0]=0，所以可得 A[i]=D[1]+D[2]+D[3]+...+D[i]
显然，利用上文结论 A[i]=D[1]+D[2]+D[3]+...+D[i] ，可将对数组A[]的“单点查询”操作转化为对差分数组D[]的“区间查询”操作。
下面给出一个具体实例，设数组A[]={1,7,3,6,8,5,9,2,10}，依据上文所述具体方案，可得差分数组D[]={1,6,-4,3,2,-3,4,-7,8}。假如对数组A[]的区间[2,6]内的每个元素都加上2，则A[]数组变为A[]={1,9,5,8,10,7,9,2,10}，差分数组则变为D[]={1,8,-4,3,2,-3,2,-7,8}。
仔细观察，发现“对数组A[]的区间[2,6]内的每个元素都加上2”这个操作执行后，对应的差分数组D[]中只有D[2]、D[7]的值发生改变。原因是，对数组A[]的区间[x,y]内的每个元素都加上k，将会使 A[x] 与前一个元素 A[x-1] 的差增加 k，A[y+1] 与 A[y] 的差减少 k，且 A[x] ~ A[y] 中其他相邻元素间的差值保持不变。所以，对数组A[]的区间[x,y]内的所有元素进行修改，只用修改D[x]与D[y+1]便可：D[x]=D[x]+k，D[y+1]=D[y+1]-k
显然，依据上述方法，便可将对数组A[]的“区间更新”操作转化为对差分数组D[]的两次“单点更新”操作。此操作需要用到树状数组“点更新”操作 update 的代码：
（https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/120559543），相关代码内容如下：
int pre=0;
int val;
for(int i=1; i<=n; i++) { //下标从1开始
scanf("%d",&val);
update(i,val-pre); //构造差分数组D[]的树状数组
pre=val;
}
update(x,k);
update(y+1,-k);
【算法代码】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5e5+5;
int c[maxn]; //差分数组D[i]=A[i]-A[i-1]的树状数组
int n,m;
int lowbit(int i) {
return (-i)&i; //返回每个c[i]所包含的元素个数
}
void update(int i,int val) { //点更新
while(i<=n) {
c[i]+=val;
i+=lowbit(i); // i的后继（父结点）
}
}
int preSum(int i) { //前缀和
int s=0;
while(i>0) { //树状数组的下标从1开始
s+=c[i];
i-=lowbit(i); //i的前驱
}
return s;
}
int main() {
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(c,0,sizeof(c));
int pre=0;
int val;
for(int i=1; i<=n; i++) { //下标从1开始
scanf("%d",&val);
update(i,val-pre); //构造差分数组D[]的树状数组
pre=val;
}
while(m--) {
int k,u,v,w;
scanf("%d",&k);
if(k==1) {
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
update(u,w);
update(v+1,-w);
} else {
scanf("%d",&u);
printf("%d\n",preSum(u));
}
}
return 0;
}
/*
in：
5 5
1 5 4 2 3
1 2 4 2
2 3
1 1 5 -1
1 3 5 7
2 4
out：
6
10
*/
【参考文献】
https://www.luogu.com.cn/problem/P3368
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/120559543
https://www.luogu.com.cn/problem/solution/P3368