El problema de despegar la mochila capa por capa.

El problema de la mochila es un problema de programación dinámica muy clásico, aquí se diseña el problema del costo del espacio, los siguientes métodos se mejoran continuamente para optimizar el costo del espacio.

1. Búsqueda de memoria

Complejidad temporal: O (n * C) donde n es el número de elementos; C es el volumen de la mochila
Complejidad espacial: O (n * C)

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cassert>

using namespace std;

/// 背包问题
/// 记忆化搜索
/// 时间复杂度: O(n * C) 其中n为物品个数; C为背包容积
/// 空间复杂度: O(n * C)
class Knapsack01{

private:
    vector<vector<int>> memo;

    // 用 [0...index]的物品,填充容积为c的背包的最大价值
    int bestValue(const vector<int> &w, const vector<int> &v, int index, int c){

        if(c <= 0 || index < 0)
            return 0;

        if(memo[index][c] != -1)
            return memo[index][c];

        int res = bestValue(w, v, index-1, c);
        if(c >= w[index])
            res = max(res, v[index] + bestValue(w, v, index - 1, c - w[index]));
        memo[index][c] = res;
        return res;
    }

public:
    int knapsack01(const vector<int> &w, const vector<int> &v, int C){
        assert(w.size() == v.size() && C >= 0);
        int n = w.size();
        if(n == 0 || C == 0)
            return 0;

        memo.clear();
        for(int i = 0 ; i < n ; i ++)
            memo.push_back(vector<int>(C + 1, -1));
        return bestValue(w, v, n - 1, C);
    }
};

2. Programación dinámica
   Complejidad temporal: O (n * C) donde n es el número de elementos; C es el volumen de la mochila
   Complejidad espacial: O (n * C)

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cassert>

using namespace std;

/// 背包问题
/// 动态规划
/// 时间复杂度: O(n * C) 其中n为物品个数; C为背包容积
/// 空间复杂度: O(n * C)
class Knapsack01{

public:
    int knapsack01(const vector<int> &w, const vector<int> &v, int C){
        assert(w.size() == v.size() && C >= 0);
        int n = w.size();
        if(n == 0 || C == 0)
            return 0;

        vector<vector<int>> memo(n, vector<int>(C + 1,0));

        for(int j = 0 ; j <= C ; j ++)
            memo[0][j] = (j >= w[0] ? v[0] : 0 );

        for(int i = 1 ; i < n ; i ++)
            for(int j = 0 ; j <= C ; j ++){
                memo[i][j] = memo[i-1][j];
                if(j >= w[i])
                    memo[i][j] = max(memo[i][j], v[i] + memo[i - 1][j - w[i]]);
            }
        return memo[n - 1][C];
    }
};

3. Mejora de la programación dinámica: arreglo rodante
Complejidad temporal: O (n * C) donde n es el número de elementos; C es el volumen de la mochila
Complejidad espacial: O ©, en realidad utiliza 2 * C de espacio adicional

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cassert>

using namespace std;

/// 背包问题
/// 动态规划改进: 滚动数组
/// 时间复杂度: O(n * C) 其中n为物品个数; C为背包容积
/// 空间复杂度: O(C), 实际使用了2*C的额外空间
class Knapsack01{

public:
    int knapsack01(const vector<int> &w, const vector<int> &v, int C){
        assert(w.size() == v.size() && C >= 0);
        int n = w.size();
        if( n == 0 && C == 0 )
            return 0;

        vector<vector<int>> memo(2, vector<int>(C + 1, 0));

        for(int j = 0 ; j <= C ; j ++)
            memo[0][j] = (j >= w[0] ? v[0] : 0);

        for(int i = 1 ; i < n ; i ++)
            for(int j = 0 ; j <= C ; j ++){
                memo[i % 2][j] = memo[(i-1) % 2][j];
                if(j >= w[i])
                    memo[i % 2][j] = max(memo[i % 2][j], v[i] + memo[(i-1) % 2][j - w[i]]);
            }
        return memo[(n-1) % 2][C];
    }
};

4. Programación dinámica mejorada
Complejidad temporal: O (n * C) donde n es el número de elementos; C es el volumen de la mochila
Complejidad espacial: O ©, solo se usa el espacio extra de C

public:
    int knapsack01(const vector<int> &w, const vector<int> &v, int C){
        assert(w.size() == v.size() && C >= 0);
        intn = w.size();
        if(n == 0 || C == 0)
            return 0;

        vector<int> memo(C+1,0);

        for(int j = 0 ; j <= C ; j ++)
            memo[j] = (j >= w[0] ? v[0] : 0);

        for(int i = 1 ; i < n ; i ++)
            for(int j = C ; j >= w[i] ; j --)
                memo[j] = max(memo[j], v[i] + memo[j - w[i]]);

        return memo[C];
    }
};