Máximo común divisor y mínimo común notas de estudio múltiples

conceptos básicos

Si el número a es divisible por el número b, a se llama múltiplo de b y b se llama divisor. Tanto los divisores como los múltiplos indican la relación entre un número entero y otro entero y no pueden existir solos. Por ejemplo, sólo se puede decir que 16 es múltiplo de cierto número y 2 es divisor de cierto número, no se puede decir de forma aislada que 16 es múltiplo y 2 es divisor.
　　"Múltiple" y "múltiple" son dos conceptos diferentes. "Múltiple" se refiere al cociente de dividir dos números. Puede ser un número entero, un decimal o una fracción. "Múltiple" es solo un número dentro del rango de divisible por un número. Comparado con "número redondo", significa un número que es divisible por un cierto número natural.
　　El divisor común de varios números enteros se llama divisor común de estos números; el más grande se llama divisor común máximo de estos números. Por ejemplo: los divisores comunes de 12 y 16 son 1, 2 y 4, el mayor de los cuales es 4, y 4 es el máximo común divisor de 12 y 16, generalmente registrado como (12, 16) = 4. El mayor de 12, 15, 18 El divisor común es 3, que se registra como (12, 15, 18) = 3.
　　Los múltiplos comunes a varios números naturales se denominan múltiplos comunes de estos números, y el número natural más pequeño se llama el mínimo común múltiplo de estos números. Por ejemplo: los múltiplos de 4 son 4, 8, 12, 16, ..., los múltiplos de 6 son 6, 12, 18, 24, ..., los múltiplos comunes de 4 y 6 son 12, 24, ..., el menor de los cuales es 12 , Generalmente registrado como [4, 6] = 12. El mínimo común múltiplo de 12, 15, 18 es 180. Registrado como [12, 15, 18] = 180. El mínimo común múltiplo de varios números coprimos es el valor absoluto de su producto.
　　El siguiente es el tema

Máximo común divisor

definición

El máximo común divisor, también conocido como máximo común divisor o máximo común divisor, se refiere al máximo divisor de dos o más enteros. El máximo común divisor de a, b se registra como (a, b). De manera similar, el máximo común divisor de a, b, c se registra como (a, b, c) y el máximo común divisor de números enteros múltiples tiene el mismo signo.

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1. Método de descomposición de factores primos

Descompone los factores primos de cada número por separado, luego extrae todos los factores primos comunes de cada número y multiplícalos.El producto obtenido es el máximo común divisor de estos números.
Por ejemplo: para encontrar el máximo común divisor de 24 y 60, primero descomponga los factores primos y obtenga 24 = 2 × 2 × 2 × 3, 60 = 2 × 2 × 3 × 5, y todos los factores primos comunes de 24 y 60 son 2, 2. , 3, su producto es 2 × 2 × 3 = 12, entonces (24,60) = 12.

2. División corta

Método de división corta para encontrar el máximo común divisor, primero use los divisores comunes de estos números para eliminar continuamente, divida hasta que todos los cocientes sean primos mutuamente, y luego multiplique todos los divisores juntos, el producto obtenido es el máximo común divisor de estos números .
De hecho, la división corta es el método de descomposición de factores primos, pero el factor primo se descompone mediante el símbolo de división corta para
prestar atención:
cuando se usa la división corta para calcular números múltiples, se deben calcular los factores existentes en dos de ellos y los demás no tienen este factor. El número cae como está. Hasta que los dos restantes sean relativamente primos.
El método anterior es adecuado para el caso de números relativamente pequeños. Si el número es grande, será muy molesto
(a excepción de dos números que son relativamente primo).
El siguiente es el punto clave

3. Lanzar y dividir

División de lanzamiento y lanzamiento: el lanzamiento y la división es un método para encontrar el máximo común divisor de dos números naturales, también conocido como algoritmo euclidiano.
Por ejemplo, encuentre (
319, 377 ): ∵ 319 ÷ 377 = 0 (319 restantes)
∴ (319,377) = (377,319);
∵ 377 ÷ 319 = 1 (58 restantes)
∴ (377,319) = (
319, 58 ); ∵ 319 ÷ 58 = 5 (restantes 29)
∴ ( 319, 58 ) = (
58, 29 ); ∵ 58 ÷ 29 = 2 (restante 0)
∴ (58, 29) = 29;
∴ (319 , 377) = 29.
Puede escribirse en el formato de la derecha.
Encuentra el máximo común divisor de varios números usando el método de división de tiros y vueltas. Primero puedes encontrar el máximo común divisor de dos de ellos, y luego hallar el máximo común divisor de este máximo común divisor y el tercer número, y luego continuar hasta el último. Contar hasta. El máximo común divisor obtenido al final es el máximo común divisor de todos estos números.

4. Más método de resta

Método de más resta: también llamado método de más resta. Es un algoritmo para encontrar el máximo común divisor de "Nueve capítulos de aritmética". Originalmente fue diseñado para la reducción, pero es adecuado para cualquier requisito que requiera el máximo común divisor. ocasión.

El texto original de "Nueve capítulos de aritmética" es el siguiente: "Si puedes la mitad, puedes la mitad, y si no puedes, se debe sumar el número de denominadores e hijos para reducir el número de más, y se puede reducir más.

No hablo palabras humanas.
Traduzca las palabras para adultos de la siguiente manera:
Paso 1: Dé dos números enteros positivos arbitrariamente, determine si ambos son números pares. Si es así, use 2 para reducir; si no, realice el segundo paso.
Paso 2: Reste el número más pequeño del número más grande, luego compare la diferencia con el número más pequeño y reduzca el número por el número más grande. Continúe esta operación hasta que el resultado menos y la diferencia sean iguales.
Entonces, el producto del número 2 reducido en el primer paso y el número medio en el segundo paso es el máximo común divisor buscado.

El "número igual" mencionado aquí es el máximo común divisor. La forma de encontrar el "número igual" es el método de "más resta". Por lo tanto, el método de más resta también se denomina algoritmo equivalente.

programa

Hazlo tu mismo

int gcd(int a,int b)
{
    
    
	if(b==0)
	{
    
    
		return a;
	}
	return gcd(b,a%b);
}

__gcd ()

La función __gcd () es una función integrada en el archivo de encabezado del algoritmo y se usa principalmente para encontrar el máximo común divisor de dos números.

uso

Encuentra el máximo común divisor de dos números:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
    
    
    ll a,b,sum;
    cin>>a>>b;
    sum=__gcd(a,b);
    cout<<sum<<endl;
	return 0;
}

Mínimo común múltiplo

definición

Los múltiplos compartidos por varios números se denominan múltiplos comunes de estos números, y el múltiplo común más pequeño excepto 0 se llama el mínimo común múltiplo de estos números.
El mínimo común múltiplo de los números naturales ayb se puede registrar como [a, b], y el máximo común divisor de los números naturales ayb se puede registrar como (a, b). Cuando (a, b) = 1, [a, b] = a × b. Si dos números son múltiplos, su mínimo común múltiplo es el número mayor y el mínimo común múltiplo de dos números naturales adyacentes es su producto. El mínimo común múltiplo = el producto de dos números / el mayor número común (factor) Al resolver el problema, evite la confusión con el mayor problema común (factor).

Ámbito de aplicación:

Suma y resta de fracciones, el teorema chino del resto (el problema correcto tiene una solución dentro del mínimo común múltiplo, y hay una solución única). Debido a que un número primo es un número que no puede ser divisible por 1 y otros números que no sean su propio número, la N-ésima potencia de un número primo X solo se puede dividir entre N y las potencias inferiores de X, y 1 es divisible uniformemente por su propio número. Por lo tanto, dé la siguiente definición del mínimo común múltiplo: el mínimo común múltiplo de los números S es el producto de las mayores potencias de los factores primos contenidos en los números S.

Método de cálculo

Similar al máximo común divisor

programa

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
    
    
    ll a,b,sum;
    cin>>a>>b;
    sum=__gcd(a,b);//最大公约数
    sum=a/sum*b;   //最小公倍数
    cout<<sum<<endl;
	return 0;
}

o:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int gcd(int a,int b)
{
    
    
	if(b==0)
	{
    
    
		return a;
	}
	return gcd(b,a%b);
}
int main()
{
    
    
    ll a,b,sum;
    cin>>a>>b;
    sum=gcd(a,b);//最大公约数
    sum=a/sum*b;   //最小公倍数
    cout<<sum<<endl;
	return 0;
}

Las propiedades del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo

gcd // El máximo común denominador
mcm // El mínimo común múltiplo

1. Si a | m, b | m entonces mcd (a, b) | m
2. Si d | a, d | b entonces d | mcm (a, b)
3. mcm (a, b) = ab / (mcd (a, b))
4. Suponga que m, a, b son números enteros positivos, entonces lcm (ma, mb) = m × lcm (a, b)
5. Si m es un entero positivo distinto de cero a1, a2, a3, a4 ..., un múltiplo común de an, entonces mcm (a1, a2, a3, a4 ... an) | m

Conclusiones comunes

1. (1) Si dos números naturales son números coprimos, su máximo común divisor es 1 y el mínimo común múltiplo es el producto de estos dos números.

   Castañas: 8 y 9, son números primos relativos, por lo que (8, 9) = 1, [8, 9] = 72.

2. (2) Si son dos números naturales, el número más grande es un múltiplo del número más pequeño, entonces el número más pequeño es el máximo común divisor de los dos números y el número más grande es el mínimo común múltiplo de los dos números.

   Castañas: 18 y 3, 18 ÷ 3 = 6, entonces (18,3) = 3, [18,3] = 18.

3. (3) Al dividir dos enteros por su máximo común divisor, el cociente obtenido es un número primo relativo.

   Castañas: 8 y 14 se dividen por su máximo común divisor 2, y los cocientes obtenidos son respectivamente 4 y 7. Entonces 4 y 7 son números primos relativos.

4. (4) El producto del máximo común divisor de dos números naturales y su mínimo común múltiplo es igual al producto de estos dos números.

   Castañas: 12 y 16, (12,16) = 4, [12,16] = 48, 4 × 48 = 12 × 16, es decir, (12,16) × [12,16] = 12 × 16.

5. (5) El máximo común divisor de ayb es la combinación lineal positiva más pequeña de a y b, es decir, para la ecuación xa + yb = c, si x, a, y y b son todos números enteros, entonces la raíz positiva más pequeña de c Es mcd (a, b). Sin castañas