6568. Persecución de DJ (hakugai) (Festival recurrente de la secuencia de Fibonacci)

Descripción del título

Solución

La sala de examen adivinó que la sección de bucle era \ (3p \ varphi (p) \) y luego era falsa

Observe que g [n] = a * f [algún elemento] + b * f [otro elemento], f representa la secuencia de Fibonacci

Y la posición de f en g [n] yg [n + 1] es exactamente 2

El elemento específico no es importante , solo importa la diferencia 2

Prueba:

\ (- f [n-4] + 3f [n-2] = f [n-3] + 2f [n-2] = f [n-2] + f [n-1] = f [n] \ )

Ambos f ingresan 2 cada vez, por lo que la sección de bucle de g es en realidad la sección de bucle de f

Solo son algunas pruebas para memorizar el contenido de este documento

El requisito es g [g [g [g [... g [n]]]]]% p, el modo p solo está en la primera capa, por lo que el interior puede ser muy grande

Debido a que la primera capa es módulo p, la segunda capa puede ser módulo (la sección cíclica de p), luego descender a su vez y finalmente encontrar el módulo g [n]% y traerlo de vuelta.

p no se fríe, tómalo con calma

código

#include <bits/stdc++.h>
#define fo(a,b,c) for (a=b; a<=c; a++)
#define fd(a,b,c) for (a=b; a>=c; a--)
#define abs(x) ((x)>0?(x):-(x))
#define N 31622
#define ll long long
#define file
using namespace std;

struct mat{
	ll a[2][2];
	void clear() {memset(a,0,sizeof(a));}
} a,b,one,turn;
int A[20],B[20],p[N+1],T,i,j,k,l,K,mod,x,y,tot,s,S,len;
bool f[N+1];
ll n,Mod;

ll qpower(ll a,int b,ll mod) {ll ans=1;while (b) {if (b&1) ans=ans*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;} return ans;}

mat mul(mat &a,mat b,ll mod)
{
	int i,j,k;
	mat c;
	
	fo(i,0,1)
	{
		fo(j,0,1)
		{
			c.a[i][j]=0;
			fo(k,0,1)
			c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%mod;
		}
	}
	return c;
}

void init()
{
	int i,j,k,l;
	
	fo(i,2,N)
	{
		if (!f[i]) p[++len]=i;
		
		fo(j,1,len)
		if (i*p[j]<=N)
		{
			f[i*p[j]]=1;
			if (!(i%p[j])) break;
		}
		else
		break;
	}
}

ll js(int t)
{
	ll S;
	
	if (t==2) S=3;
	else
	if (t==3) S=8;
	else
	if (t==5) S=20;
	else
	if (t%5==1 || t%5==4) S=t-1;
	else
	S=2*(t+1);
	
	return S;
}

ll gcd(ll x,ll y)
{
	ll r=x%y;
	while (r) x=y,y=r,r=x%y;
	return y;
}
ll lcm(ll x,ll y) {return x*y/gcd(x,y);}
ll work(int t,ll mod)
{
	ll s=mod,Mod=1,S,s2,n;
	int i,j,k,l;
	
	if (t>1)
	{
		fo(i,1,len)
		if (!(s%p[i]))
		{
			s2=1;
			while (!(s%p[i])) s/=p[i],s2*=p[i];
			s2/=p[i];
			
			Mod=lcm(Mod,js(p[i])*s2);
			if (s==1) break;
		}
		if (s>1) Mod=lcm(Mod,js(s));
		n=work(t-1,Mod);
	}
	else
	n=::n;
	
	a=one;b=turn;
	while (n)
	{
		if (n&1) a=mul(a,b,mod);
		b=mul(b,b,mod);
		n>>=1;
	}
	return ((a.a[0][0]*x+a.a[1][0]*y)%mod+mod)%mod;
}

int main()
{
	freopen("hakugai.in","r",stdin);
	#ifdef file
	freopen("hakugai.out","w",stdout);
	#endif
	one.a[0][0]=1;one.a[0][1]=0;
	one.a[1][0]=0;one.a[1][1]=1;
	turn.a[0][0]=0;turn.a[0][1]=-1;
	turn.a[1][0]=1;turn.a[1][1]=3;
	
	init();
	
	scanf("%d",&T);
	for (;T;--T)
	{
		scanf("%d%d%d%d%d",&x,&y,&n,&K,&mod); s=floor(sqrt(mod));Mod=mod;
		printf("%lld\n",work(K,mod));
	}
	
	fclose(stdin);
	fclose(stdout);
	
	return 0;
}