Titulo
Dadas las consultas \ (p, k \) , \ (T \) , cada vez que se le pregunta a un determinado \ (n \) , busque \ (\ sum \ limits_ {i = 1} ^ ni ^ k (\% ~ p ) \) . ( \ (2 \ le n, m, k \ le 10 ^ {18}, 1 \ le T \ le 3 * 10 ^ 3 \) , el factor primo máximo de \ (p \) no supera \ (3 * 10 ^ 5 \) )
Practica
\ (p \) El factor primo máximo no excede \ (3 * 10 ^ 5 \) , descomposición directa de la fuerza bruta \ (p = \ prod p_i ^ {a_i} \)
Considere solo un \ (p_i ^ {a_i} \) , este \ (i \) es diferente del siguiente, porque es fácil de distinguir, independientemente del nombre duplicado
\ [\ begin {alineado} \\ \ sum \ limits_ {i = 1} ^ nj ^ k & = \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n (ap_i + b) ^ k \\ & = \ sum \ limits_ { i = 1} ^ n \ sum \ limits_ {j = 0} ^ {min (k, a_i)} {k \ elegir j} (ap_i) ^ jb ^ {kj} \\ & = \ sum \ limits_ {j = 0} ^ {min (k, a_i)} {k \ elige j} p ^ j \ sum \ limits_ {i = 1} ^ na ^ jb ^ {kj} \\ & = \ sum \ limits_ {j = 0} ^ {min (k, a_i)} {k \ elige j} p ^ j (\ sum \ limits_ {a = 0} ^ {\ frac {n} {p_i} -1} a ^ j \ sum \ limits_ {b = 0} ^ {p_i-1} b ^ {kj} + (\ frac {n} {p_i}) ^ {j} \ sum \ limits_ {b = 0} ^ {n \% p_i} b ^ {kj} ) \\ \ end {alineado} \]