UVA-12304 Geometría 2D 110 en 1! (Operaciones básicas y vuelta)

Others 2020-03-26 00:53:32 views: null

UVA-12304 Geometría 2D 110 en 1!

La cuestión consta de las siguientes sub-problemas

  1. CircumscribedCircle x1 y1 y2 x2 x3 y3: circunferencia circunscrita del triángulo

  2. InscribedCircle x1 y1 y2 x2 x3 y3: círculo inscrito en el triángulo

  3. TangentLineThroughPoint xc YC r XP yp tenía que hacer un pequeño círculo tangente

  4. CircleThroughAPointAndTangentToALineWithRadius XP yp x1 y1 x2 y2 r: Encontrado radio r, por un punto P, y L es la recta tangente a un círculo

  5. CircleTangentToTwoLinesWithRadius x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 r: las dos líneas rectas, y el radio r

  6. CircleTangentToTwoDisjointCirclesWithRadius x1 y1 r1 x2 y2 r2 r: determinar todos estos dos círculos tangente al radio exterior r del círculo

En el código de la plantilla por debajo de muchos de los cuales son la base del escrito arriba: plantilla geométrica

1. búsqueda de circunferencia circunscrita del triángulo

image.png

El conocimiento Junior, intersección triangular de mediatrices es el centro, es fácil determinar el centro del radio se puede obtener, por lo que ahora solicitar una mediatriz de un segmento de línea, así como la intersección de dos segmentos de línea. El punto medio de los puntos finales del segmento de línea se puede promediar para encontrar uso, la bisectriz perpendicular puede ser un vector \ (\ vec {AB} \ ) 90 grados resultantes vector, con base en el punto medio del segmento de línea se puede obtener la bisectriz perpendicular.

// circle 结构体的构造函数
circle(Point a, Point b, Point c){
    Line u = Line((a+b)/2,((a+b)/2)+((b-a).rotleft()));
    Line v = Line((b+c)/2,((b+c)/2)+((c-b).rotleft()));
    p = u.crosspoint(v); // p 为 u 与 v 的交点
    r = p.distance(a);
}

2. búsqueda círculo triángulo inscrito

imagen-20200325225351633.png

circle(Point a, Point b, Point c, bool t){
    Line u, v;
    // u 为角 a 的平分线, m 为ab向量极角，n为ac向量极角，取平均得到角平分线的极角
    db m  = atan2(b.y-a.y, b.x-a.x), n = atan2(c.y - a.y, c.x - a.x);
    u.s = a;
    u.e = u.s + Point(cos((n+m)/2), sin((n+m)/2)); // u.s + 角平分线单位向量得到角平分线
    // v 为角 b 的平分线
    m = atan2(a.y-b.y, a.x-b.x), n = atan2(c.y-b.y, c.x-b.x);
    v.s = b;
    v.e = v.s + Point(cos((n+m)/2), sin((n+m)/2));
    p = u.crosspoint(v); // 得到圆心
    r = Line(a,b).dispointtoseg(p);
}

3. ¿demasiado pequeño círculo tangente

En primer lugar, la relación entre el punto de decisión y un círculo

  • Si el punto dentro del círculo, no tangente a través del punto d
  • Si el punto en el círculo, el círculo se puede conectar a ella por un segmento de línea 90 grados tangente para dar
  • Si los puntos fuera del círculo, como se muestra a continuación, se puede calcular la \ (\ Ang CAB \) , a continuación, calcular el \ (| \ VEC el AD {} |, | \ la CC VEC {} | \) , entonces A es C para dar estos dos vectores juntos, y obtiene de este modo sobre la base de una tangente, punto tangente a continuación se puede obtener por el mismo método.

imagen-20200325225558425.png

/*
        点和圆的关系
        0 圆外
        1 圆上
        2 圆内
*/
int relation(Point b){
    db dst = b.distance(p);
    if(sgn(dst - r) < 0) return 2;
    else if(sgn(dst - r) == 0) return 1;
    return 0;
}
// 过一点作圆的切线 (先判断点和圆的关系)
int tangentline(Point q, Line &u, Line &v){
    int x = relation(q);
    if(x == 2) return 0; //圆内
    if(x == 1){ //圆上
        u = Line(q, q+(q-p).rotleft());
        v = u;
        return 1;
    }
    db d = p.distance(q); // 得到AB向量的大小
    db l = r * r / d;	// 通过余弦定理，得到 AD向量大小
    db h = sqrt(r * r - l * l);	// 通过勾股定理求出DC向量大小
    // vec.trunc(r) 表示将vec向量大小调整为r, rotleft表示逆时针旋转90度
    u = Line(q, p + ((q - p).trunc(l) + (q - p).rotleft().trunc(h)));
    v = Line(q, p + (q - p).trunc(l) + (q - p).rotright().trunc(h));
    return 2;
}

4. Encontrar el radio r, por un punto P, y L es la recta tangente a un círculo

En primer lugar discutir el punto P y la distancia L dis

  • Si \ (DIS \ gt R & lt * 2 \) , no hay tal círculo

  • Si \ (DIS = 0 \) , entonces los puntos P en una línea recta, utilizando el método mencionado anteriormente, para obtener un vector de longitud r, y el ángulo de 90 grados con la línea recta, y el centro se pueden obtener mediante la adición de p. (Este centro tiene dos)

  • Otros casos pueden ver a continuación:

    imagen-20200325231835495.png

    La línea roja es L, la línea verde es una línea paralela a la longitud del rojo y la línea verde es R, p está en el centro, r es el radio de un círculo hecho con las líneas paralelas cruzan en dos puntos (dos puntos pueden ser la única), estos dos puntos es significado de las preguntas en línea con el centro del círculo

// 得到与直线 u 相切，过点 q， 半径为 r1 的圆
int getcircle(Line u, Point q, db r1, circle &c1, circle &c2){
    db dis = u.dispointtoline(q); // 直线 u 与 q 的距离
    if(sgn(dis - r1 * 2) > 0) return 0;// dis > r1 * 2
    if(sgn(dis) == 0){	// q 在 u 上面
        c1.p = q + ((u.e - u.s).rotleft().trunc(r1));
        c2.p = q + ((u.e - u.s).rotright().trunc(r1));
        c1.r = c2.r = r1;
        return 2;
    }
    // u1, u2 为两条平行线
    Line u1 = Line((u.s + (u.e - u.s).rotleft().trunc(r1)), (u.e + (u.e - u.s).rotleft().trunc(r1)));
    Line u2 = Line((u.s + (u.e - u.s).rotright().trunc(r1)), (u.e + (u.e - u.s).rotright().trunc(r1)));
    circle cc = circle(q, r1);
    Point p1, p2;
    // cc 与 u1,u2 两条线中的一个相交
    if(!cc.pointcrossline(u1, p1, p2)) cc.pointcrossline(u2, p1, p2);
    c1 = circle(p1, r1);
    if(p1 == p2){ // 可能两个圆是重合的，这个对应 dis = 2*ri 的情况
        c2 = c1;
        return 1;
    }
    c2 = circle(p2, r1);
    return 2;
}

5 con dos líneas rectas L1, L2 tangente y el radio r

Tema para asegurar que las dos líneas se cruzan no lo es, pero puede desear para pensar, si en paralelo, puede ser sólo 0 o un número ilimitado de

En el caso de disjuntos, decir en primer lugar en el mapa (L1 y L2 de líneas paralelas de color rojo, azul)

image.png

Creo que va a entender una figura, que es encontrar dos líneas rectas paralelas para encontrar las intersecciones, como la intersección debe tener cuatro.

// 同时与直线u，v相切，半径为r1的圆 
int getcircle(Line u, Line v, db r1, circle &c1, circle &c2, circle &c3, circle &c4){
    if(u.parallel(v)) return 0;
    Line u1 = Line(u.s + (u.e - u.s).rotleft().trunc(r1), u.e + (u.e - u.s).rotleft().trunc(r1));
    Line u2 = Line(u.s + (u.e - u.s).rotright().trunc(r1), u.e + (u.e - u.s).rotright().trunc(r1));
    Line v1 = Line(v.s + (v.e - v.s).rotleft().trunc(r1), v.e + (v.e - v.s).rotleft().trunc(r1));
    Line v2 = Line(v.s + (v.e - v.s).rotright().trunc(r1), v.e + (v.e - v.s).rotright().trunc(r1));

    c1.r = c2.r = c3.r = c4.r = r1;
    c1.p = u1.crosspoint(v1);
    c2.p = u1.crosspoint(v2);
    c3.p = u2.crosspoint(v1);
    c4.p = u2.crosspoint(v2);
    return 4;
}

6. determinar todos los c1 dos círculos, corte exterior c2, un círculo con un radio r

image.png

El c1 y c2 se agrandan radio r, encuentra las intersecciones de dos círculos se pueden ampliar. ¿Cómo encontrar la intersección del círculo?

image.png

Triángulo \ (\ triangle ABE \) tres lados se determinan, determinado a partir de la ley de los cosenos \ (\ ang \ alpha \) ángulo, y entonces obtiene E

/*
    两圆的关系
    5 相离
    4 外切
    3 相交
    2 内切
    1 内含
*/
int relationcircle(circle v){
    db d = p.distance(v.p);
    if(sgn(d - r - v.r) > 0) return 5;
    if(sgn(d - r - v.r) == 0) return 4;
    db l = fabs(r - v.r);
    if(sgn(d - r - v.r) < 0 && sgn(d - l) > 0) return 3;
    if(sgn(d - l) == 0) return 2;
    if(sgn(d - l) < 0) return 1;
}
/*
    求两个圆的交点，返回0表示没有交点，返回1是一个交点，2是两个交点
*/
int pointcrosscircle(circle v, Point &p1, Point &p2){
    int rel = relationcircle(v);
    // 相离或者内含
    if(rel == 1 || rel == 5) return 0; 
    // d 为圆心距，下面求E的方法类似问题3
    db d = p.distance(v.p); 
    db l = (d * d + r * r - v.r * v.r) / (2 * d);
    db h = sqrt(r * r - l * l);
    Point tmp = p + (v.p - p).trunc(l);
    p1 = tmp + ((v.p - p).rotleft().trunc(h));
    p2 = tmp + ((v.p - p).rotright().trunc(h));
    if(rel == 2 || rel == 4)return 1;
    return 2;
}
// 同时与不相交圆 cx, cy 相切，半径为r1的圆
int getcircle(circle cx, circle cy, db r1, circle &c1, circle &c2){
    // 得到两个更大的圆
    circle x(cx.p, r1+cx.r), y(cy.p, r1+cy.r);
    // 求两个圆的交点
    int t = x.pointcrosscircle(y, c1.p, c2.p);
    if(!t) return 0;
    c1.r = c2.r = r1;
    return t;
}

Código AC

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
#define dbg(x...) do { cout << "\033[32;1m" << #x <<" -> "; err(x); } while (0)
void err() { cout << "\033[39;0m" << endl; }
template<class T, class... Ts> void err(const T& arg,const Ts&... args) { cout << arg << " "; err(args...); }
const int N = 100 + 5;
typedef double db;
const db eps = 1e-8;
const db pi = acos(-1.0);
int sgn(db x){
    if(fabs(x) < eps) return 0;
    if(x < 0) return -1;
    return 1;
}

struct Point{
    db x, y;
    Point(){}
    Point(db x, db y):x(x), y(y){}
    void input(){
        scanf("%lf%lf",&x, &y);
    }
    bool operator == (Point b)const {
        return sgn(x-b.x) == 0 && sgn(y-b.y) == 0;
    }
    bool operator < (Point b)const{
        return sgn(x-b.x) == 0 ? sgn(y - b.y) < 0 : x < b.x;
    }
    Point operator - (const Point &b)const{
        return Point(x - b.x, y - b.y);
    }
    db operator ^ (const Point &b)const{
        return x * b.y - y * b.x;
    }
    db operator * (const Point &b)const{
        return x * b.x + y * b.y;
    }
    // 返回长度
    db len(){
        return hypot(x, y);
    } 
    // 返回长度平方
    db len2(){
        return x * x + y * y;
    }
    //返回两点距离 
    db distance(Point p){
        return hypot(x - p.x, y - p.y);
    }
    Point operator + (const Point &b)const{
        return Point(x + b.x, y + b.y);
    }
    Point operator * (const db &k) const {
        return Point(x * k,  y * k);
    }
    Point operator /(const db &k)const {
        return Point(x / k, y / k);
    }
    // 逆时针旋转90度
    Point rotleft(){
        return Point(-y, x);
    }
    // 顺时针转90度
    Point rotright(){
        return Point(y, -x);
    }
    // 化为长度为 r 的向量
    Point trunc(db r){
        db l = len();
        if(!sgn(l)) return *this;
        r /= l;
        return Point(x*r, y*r);
    }
};
struct Line{
    Point s, e;
    Line(){}
    Line(Point s, Point e):s(s),e(e){}
    void input(){
        s.input();
        e.input();
    }
    db dispointtoline(Point p){
        return fabs((p-s) ^ (e-s)) / length();
    }
    db length(){
        return s.distance(e);
    }
    // 返回直线倾斜角 0 <= angle < pi
    db angle(){
        db k = atan2(e.y - s.y, e.x - s.x);
        if(sgn(k) < 0) k += pi;
        if(sgn(k - pi) == 0) k -= pi;
        return k;
    }
    // 点到线段的距离
    db dispointtoseg(Point p){
        if(sgn((p-s)*(e-s)) < 0 || sgn((p-e) * (s-e)) < 0)
            return min(p.distance(s), p.distance(e));
        return dispointtoline(p);
    } 
    Point crosspoint(Line v){
        db a1 = (v.e - v.s) ^ (s - v.s);
        db a2 = (v.e - v.s) ^ (e - v.s);
        return Point((s.x * a2 - e.x * a1) / (a2 - a1), (s.y * a2 - e.y * a1) / (a2 - a1));
    }
    /*
        返回 p 在直线上的投影
    */
    Point lineprog(Point p){
        return s + ( ((e-s)*((e-s)*(p-s)))/((e-s).len2()) );
    }
    // 两向量平行（对应直线平行或重合）
    bool parallel(Line v){
        return sgn((e - s) ^ (v.e - v.s)) == 0;
    }
};
struct circle{
    Point p;
    db r;
    circle(){}
    circle(Point p, db r):p(p), r(r){}
    bool operator < (circle b)const{
        return p < b.p;
    }
    void input(){
        p.input();
        // 注意类型
        scanf("%lf", &r);
    }
    /*
        三角形的外接圆
        需要Point 的 + / rotate() 以及 Line 的crosspoint()
        利用两条边的中垂线得到圆心
        UVA 12304
    */
    circle(Point a, Point b, Point c){
        Line u = Line((a+b)/2,((a+b)/2)+((b-a).rotleft()));
        Line v = Line((b+c)/2,((b+c)/2)+((c-b).rotleft()));
        p = u.crosspoint(v);
        r = p.distance(a);
    }
    /*
        三角形的内切圆
        bool t 没有作用，只是为了和上面外接圆函数区别
        UVA 12304
    */
    circle(Point a, Point b, Point c, bool t){
        Line u, v;
        // u 为角 a 的平分线
        db m  = atan2(b.y-a.y, b.x-a.x), n = atan2(c.y - a.y, c.x - a.x);
        u.s = a;
        u.e = u.s + Point(cos((n+m)/2), sin((n+m)/2));
        // v 为角 b 的平分线
        m = atan2(a.y-b.y, a.x-b.x), n = atan2(c.y-b.y, c.x-b.x);
        v.s = b;
        v.e = v.s + Point(cos((n+m)/2), sin((n+m)/2));
        p = u.crosspoint(v);
        r = Line(a,b).dispointtoseg(p);
    }
    /*
        点和圆的关系
        0 圆外
        1 圆上
        2 圆内
    */
   int relation(Point b){
       db dst = b.distance(p);
       if(sgn(dst - r) < 0) return 2;
       else if(sgn(dst - r) == 0) return 1;
       return 0;
   }
    /*
        线段和圆的关系
        比较的是圆心到线段的距离和半径的关系
        2 交
        1 切
        0 不交
   */
    int relation(Line v){
        db dst = v.dispointtoseg(p);
        if(sgn(dst - r) < 0) return 2;
        else if(sgn(dst - r) == 0) return 1;
        return 0;
    }
    int relationline(Line v){
        db dst = v.dispointtoline(p);
        if(sgn(dst - r) < 0) return 2;
        else if(sgn(dst - r) == 0) return 1;
        return 0;
    }
    // 过一点作圆的切线 (先判断点和圆的关系)
    int tangentline(Point q, Line &u, Line &v){
        int x = relation(q);
        if(x == 2) return 0; //圆内
        if(x == 1){ //圆上
            u = Line(q, q+(q-p).rotleft());
            v = u;
            return 1;
        }
        db d = p.distance(q);
        db l = r * r / d;
        db h = sqrt(r * r - l * l);
        u = Line(q, p + ((q - p).trunc(l) + (q - p).rotleft().trunc(h)));
        v = Line(q, p + (q - p).trunc(l) + (q - p).rotright().trunc(h));
        return 2;
    }
    // 求直线与圆的交点，返回交点个数
    int pointcrossline(Line v, Point &p1, Point &p2){
        if(!(*this).relationline(v)) return 0;
        Point a = v.lineprog(p);
        db d = v.dispointtoline(p);
        d = sqrt(r * r - d * d);
        if(sgn(d) == 0){
            p1 = a;
            p2 = a;
            return 1;
        }
        p1 = a + (v.e - v.s).trunc(d);
        p2 = a - (v.e - v.s).trunc(d);
        return 2;
    }
    // 得到与直线 u 相切，过点 q， 半径为 r1 的圆
    int getcircle(Line u, Point q, db r1, circle &c1, circle &c2){
        db dis = u.dispointtoline(q);
        if(sgn(dis - r1 * 2) > 0) return 0;
        if(sgn(dis) == 0){
            c1.p = q + ((u.e - u.s).rotleft().trunc(r1));
            c2.p = q + ((u.e - u.s).rotright().trunc(r1));
            c1.r = c2.r = r1;
            return 2;
        }
        Line u1 = Line((u.s + (u.e - u.s).rotleft().trunc(r1)), (u.e + (u.e - u.s).rotleft().trunc(r1)));
        Line u2 = Line((u.s + (u.e - u.s).rotright().trunc(r1)), (u.e + (u.e - u.s).rotright().trunc(r1)));
        circle cc = circle(q, r1);
        Point p1, p2;
        if(!cc.pointcrossline(u1, p1, p2)) cc.pointcrossline(u2, p1, p2);
        c1 = circle(p1, r1);
        if(p1 == p2){
            c2 = c1;
            return 1;
        }
        c2 = circle(p2, r1);
        return 2;
    }
    // 同时与直线u，v相切，半径为r1的圆 
    int getcircle(Line u, Line v, db r1, circle &c1, circle &c2, circle &c3, circle &c4){
        if(u.parallel(v)) return 0;
        Line u1 = Line(u.s + (u.e - u.s).rotleft().trunc(r1), u.e + (u.e - u.s).rotleft().trunc(r1));
        Line u2 = Line(u.s + (u.e - u.s).rotright().trunc(r1), u.e + (u.e - u.s).rotright().trunc(r1));
        Line v1 = Line(v.s + (v.e - v.s).rotleft().trunc(r1), v.e + (v.e - v.s).rotleft().trunc(r1));
        Line v2 = Line(v.s + (v.e - v.s).rotright().trunc(r1), v.e + (v.e - v.s).rotright().trunc(r1));
        
        c1.r = c2.r = c3.r = c4.r = r1;
        c1.p = u1.crosspoint(v1);
        c2.p = u1.crosspoint(v2);
        c3.p = u2.crosspoint(v1);
        c4.p = u2.crosspoint(v2);
        return 4;
    }
    /*
        两圆的关系
        5 相离
        4 外切
        3 相交
        2 内切
        1 内含
    */
    int relationcircle(circle v){
        db d = p.distance(v.p);
        if(sgn(d - r - v.r) > 0) return 5;
        if(sgn(d - r - v.r) == 0) return 4;
        db l = fabs(r - v.r);
        if(sgn(d - r - v.r) < 0 && sgn(d - l) > 0) return 3;
        if(sgn(d - l) == 0) return 2;
        if(sgn(d - l) < 0) return 1;
    }
    /*
        求两个圆的交点，返回0表示没有交点，返回1是一个交点，2是两个交点
    */
    int pointcrosscircle(circle v, Point &p1, Point &p2){
        int rel = relationcircle(v);
        if(rel == 1 || rel == 5) return 0;
        db d = p.distance(v.p);
        db l = (d * d + r * r - v.r * v.r) / (2 * d);
        db h = sqrt(r * r - l * l);
        Point tmp = p + (v.p - p).trunc(l);
        p1 = tmp + ((v.p - p).rotleft().trunc(h));
        p2 = tmp + ((v.p - p).rotright().trunc(h));
        if(rel == 2 || rel == 4)return 1;
        return 2;
    }
    // 同时与不相交圆 cx, cy 相切，半径为r1的圆
    int getcircle(circle cx, circle cy, db r1, circle &c1, circle &c2){
        circle x(cx.p, r1+cx.r), y(cy.p, r1+cy.r);
        int t = x.pointcrosscircle(y, c1.p, c2.p);
        if(!t) return 0;
        c1.r = c2.r = r1;
        return t;
    }
};
string op;
int main(){
    while(cin >> op){
        if(op == "CircumscribedCircle"){
            Point a, b, c;
            a.input();b.input();c.input();
            circle C(a, b, c);
            printf("(%.6f,%.6f,%.6f)\n", C.p.x, C.p.y, C.r);
        }else if(op == "InscribedCircle"){
            Point a, b, c;
            a.input();b.input();c.input();
            circle C(a, b, c, true);
            printf("(%.6f,%.6f,%.6f)\n", C.p.x, C.p.y, C.r);
        }else if(op == "TangentLineThroughPoint"){
            Point p;
            circle c;
            c.input();p.input();
            Line l[2];
            int cnt = c.tangentline(p, l[0], l[1]);
            sort(l, l+cnt, [](Line a, Line b){return a.angle() < b.angle();});
            printf("[");
            for(int i=0;i<cnt;i++){
                if(i) printf(",");
                printf("%.6f", l[i].angle()/pi*180);
            }
            printf("]\n");
        }else if(op == "CircleThroughAPointAndTangentToALineWithRadius"){
            Point p;
            Line l;
            db r;
            p.input();l.input();scanf("%lf", &r);
            circle c[2];
            int cnt = circle().getcircle(l, p, r, c[0], c[1]);
            sort(c,c+cnt);
            printf("[");
            for(int i=0;i<cnt;i++){
                if(i) printf(",");
                printf("(%.6f,%.6f)",c[i].p.x,c[i].p.y);
            }
            printf("]\n");
        }else if(op == "CircleTangentToTwoLinesWithRadius"){
            Line l[2];
            db r;
            l[0].input();l[1].input();
            scanf("%lf", &r);
            circle c[4];
            int cnt = circle().getcircle(l[0], l[1], r, c[0], c[1], c[2], c[3]);
            sort(c,c+cnt);
            printf("[");
            for(int i=0;i<cnt;i++){
                if(i) printf(",");
                printf("(%.6f,%.6f)",c[i].p.x,c[i].p.y);
            }
            printf("]\n");
        }else if(op == "CircleTangentToTwoDisjointCirclesWithRadius"){
            circle c1, c2, c[4];
            c1.input();c2.input();
            db r;scanf("%lf", &r);
            int cnt = circle().getcircle(c1, c2, r, c[0], c[1]);
            sort(c, c+cnt);
            printf("[");
            for(int i=0;i<cnt;i++){
                if(i) printf(",");
                printf("(%.6f,%.6f)",c[i].p.x,c[i].p.y);
            }
            printf("]\n");
        }
    }

    return 0;
}

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