[ACM] algorithm - a mathematical question, problem - a prime factor decomposition

The first question:


the idea:
this problem, although looked disgusting, but it is a combination of the type of title, the equivalent of a prime number sieve and a comprehensive title modulo operation. As for the calculation of the quality factor, it has only been modulus modulus can be, but the distinction between the code and number corresponding to the dismantling of code bits.

code show as below:

#include<stdio.h>
bool mark[100001];
int prime[100001];
int primeSize;
void init(){
	for(int i=0;i<100001;i++){
		mark[i]=false;
	}
	primeSize=0;
	for(int i=2;i<100001;i++){
		if(mark[i]==true)continue;
		prime[primeSize++]=i;
		if(i>=1000)continue;//对于这个，我个人感觉可加可不加，，
		//因为这个语句相对于下面的只是少了一个加减乘除运算的步骤，至于这个时间消耗，可能不是很大吧。
		for(int j=i*i;j<100001;j+=i){
			mark[j]=true;
		}
	}
}//素数筛法模板函数 
int main(){
	init();
	int n;
	while(scanf("%d",&n)!=EOF){
		int ansPrime[30];//记录，结果的素因数
		int ansSize=0;//记录结果的个数
		int ansNum[30];//记录结果的幂次
		for(int i=0;i<primeSize;i++){//对于所有的素数，依次判断是否为因数
			if(n%prime[i]==0){
				ansPrime[ansSize]=prime[i];
				ansNum[ansSize]=0;//如果可以，进行相应的初始化准备工作
				while(n%prime[i]==0){
					ansNum[ansSize]++;
					n/=prime[i];
				}
				ansSize++;
				if(n==1)break;//当n变为1的时候说明素因数已经分解完毕了。
			}
		}
		if(n!=1){//若此时的n不为1，则一定存在一个大于100000的因数，并且这个因数一定为素因数
			ansPrime[ansSize]=n;
			ansNum[ansSize++]=1;
		}
		int ans=0;
		for(int i=0;i<ansSize;i++){
			ans+=ansNum[i];
		}
		printf("%d\n",ans);
		
		
	}
	return 0;
}

Difficulty:
For this, there are three possible difficulty:

1. Why only prime divisors less than 100,000
2. Why, when n = 1, the remaining number must be a prime factor.
3. Why prime factor decomposition of a young age, is certainly the only answer it?

answer:

First answer the third question, the answer must be unique, to prove (personal understanding):

假设答案不唯一，则对于数 n 存在一个结果 : x1*x2*x3=y1*y2*y3，其中x与y不完全相同
因为每个数都是素数，并且是整数，只存在1和其本身为其因数。
假设x3与y不同，这时将x3除过去，如下 x1*x2=y1*y2*y3 / x3  此时x1*x2必为一个整数
那么右边也必然是一个整数，也就是说x3必然被约掉了，即y1*y2*y3这个因式中必然存在因子可以约掉x3，
但是他们都是素数，对于素数来说，只存在1和其本身为其因数，所以原则上他们数不能约分的。
所以这就与假设所矛盾，即上面这种结果根本就不存在，即答案必然唯一。

Followed by the first question and the second question:

现在n可分解素因数，对于其素因数来说，如果存在大于sqrt(n)的因数，只能有一个，如果有俩，就大于n了。
所以我们只需要遍历小于sqrt(n)的素因数，剩下的那一个必然为大于sqrt(n)的，且必然为素因数。

The second question: