Machine learning the foundations of mathematics 1

Linear Algebra

matrix

Defined matrix

 

• The m × n  number of aij (i = 1,2, ..., m; j = 1,2, ..., n) arranged in m  rows and n columns of Table A number  called the m  rows and n columns the matrix

• Which m × n  number of the called matrix A  of the elements, the elements of row i of the matrix A j-th column aij
• m × n matrix A may be denoted A _m × _n- , where m is the number of rows, n being the number of columns, m, n> 0

 

 

Special Matrices

 

For A _m × _n- , if m = n- , i.e. the matrix number of rows equal to the number of columns , so called A is a square matrix

 

 

 

The concept matrix

 

 

• Number of rows and columns is equal to n matrix is called matrix of order n, also known as do n -order square matrix , can be written as A _n 
• 只有一行的矩阵 A₁×_n 称为行矩阵，又叫行向量
• 同样，只有一列的矩阵 A_n×₁ 称为列矩阵，又叫列向量

 

 

• 对于方阵，从左上角到右下角的直线，叫做主对角线，主对角线上的元素称为主对角

线元素

 

 

特殊矩阵

矩阵的元素全部为0，称为零矩阵，用 O 表示

 

 

对于方阵，如果只有对角线元素为1，其余元素都为0，

那么称为单位矩阵，一般用 I 或者 E 表示

 

 

对于方阵，不在对角线上的元素都为0，

称为对角矩阵

 

 

 

矩阵的加法

• 把矩阵的对应位元素相加
• 矩阵的形状必须一致，即必须是同型矩阵

 

 

 

矩阵的乘法

1. 数与矩阵相乘

数值与矩阵的每一个元素相乘

 

2.矩阵与矩阵相乘

左矩阵的每一行与右矩阵的每一行，对应每一行元素相乘

 

 

A × B，那么有 A 矩阵 m × n，B 矩阵 n × k，要求左侧矩阵的列数n，必须等于右侧矩阵的行数 n，

必须等于右侧矩阵的行数 n，结果矩阵 C 为 m × k 矩阵。

 

 

 

 规则：一行乘一列，行定列移动，列尽下一行

 

 如：

 

 

 

矩阵的转置

• 把矩阵 A 的行换成相同序数的列，得到一个新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作 AT
• 行变列，列变行
• A 为 m × n 矩阵，转置之后为 n × m 矩阵

 

 

 

矩阵的运算法则

 

 

 

矩阵的逆

——对于 n 阶方阵 A，如果有一个 n 阶方阵 B，使得

　　　　　　AB = BA = E

就称矩阵 A 是可逆的，并把 B 称为 A 的逆矩阵