10244 Graph Theory

Graph theory is developed rapidly in recent years and widespread application of a new discipline. Math puzzle game to study some of it originated in. As 1736 Euler (. L Euler) addressed by the Seven Bridges of Konigsberg; and problems in some games folkloric: for example maze, walking route problems chessboard launched and so on.   These age-old problem at that time attracted the attention of many scholars, so that basic research on these issues, and put forward the famous four-color conjecture and issues around the world.   When the continuous development of graph theory, operations research in solving it, network theory, information theory, control problems in all areas of theory, game theory and computer science, showing that more and more results.   For a wide range of disciplines such applications, content that contains the rich, only to prepare this article, we introduce the basic concepts and theorems, providing convenience for future study and research related disciplines and courses.

 

1. Fig.

 1.1 Definitions

Definition: a graph G is a triple <V (G), E (G), [Phi] _G  >
       where V (G) is not empty node (vertex) set,

　　E (G) is an edge of the collection,

　　[Phi] _G  is a set of edges from the node E to even function on the set of pairs.

 

Discuss definitions:
(. 1) V (G) = {V1, V2, ..., VN} is not empty node set, called nodes VI, V is referred to as point sets .

(2) E (G) = {e1, ..., em} is the set of edges, ei called side, referred to as E is the set of edges .

(. 3) [Phi] _G is a set of edges from the node E to even function on the set of pairs. I.e., for each edge ei, node exists even in the V corresponding thereto.

　　For example, [Phi] _G (EI) = (VI, VJ)

Even junction (4) may be a definition of the ordered pair of <vi, vj>, may be disordered even to (vi, vj).

　　① If edge e of the corresponding ordered pair <vi, vj>, edge e is called directed edge (arc) ,

    　　 Vi called nodes of the directed edge start point , the nodes of the directed edge vj called endpoint , referred to as the e endpoints .

　　　  E is also known as associated with the node vi and vj, the nodes vi and vj are adjacent (neighboring) .

　　② If the corresponding edge e of the even disorder (vi, vj), edge e is called undirected edges (edges) .

(5) the edges are each directed edge FIG referred digraph ;
　  each edge are free to FIG edges, called undirected graph .
(6) If so e = <vi, vj> or e = (vi, vj), i.e. to the node pair represented by FIG coupling edge, so that the can be simplified to FIG:
      G = <V, E>.

 

 

Proper noun:

(. 1) (n, m) in FIG : with n nodes, m edges FIG.

(2) directed complete graph : There are n nodes in the directed graph
　　G = <V, E>, if E = V × V, where G is called to complete FIG.

 E.g

 

Note: For the complete FIG simple: it has the number of strip 2 C = m _n- ² = n-(. 1-n-) (removed from the circuit)

(3) undirected complete graph : undirected graph between every two nodes have connection.
    The number of edges undirected complete graph with n nodes is: C = m _n ² = n (. 1-n) / 2

E.g

(4) mixing FIG : both directed edges, there are no edges to FIG.
(5) adjacent to each side : the same node is connected to the two (or several) sides.

 E.g

 

 

(6) from the circuit : FIG starting and terminating sides to the same node.
(From the direction of the arrow loop does not make sense)

(7) multiple edges (parallel sides) : two in the same direction between two nodes (s) side.

 E.g

 

FIG. (8) containing multiple edges is referred to as multi-FIG , referred to as non-multiple FIGS line in FIG .

  E.g

 

 

 

(9) a simple graph: no self-called simple circuit diagram of FIG.
　　             That is a simple graph without self-loops and multiple edges of the map.

(10) 赋权图Ｇ是一个三元组〈V , E , g〉或四元组〈V , E , f , g 〉，
其中 V 为结点集合，E 为边的集合，f 是定义在集合 V上的函数，g 是定义在集合 E 上的函数。

实际上，赋权图可以用一句话概括：每一条边或结点均注上数字的图（数字可以为整数、正实数）

 

(11)孤立结点：不与任何结点相连接的结点。
(12)零图：仅包含孤立结点的图，记为 ( n , 0 ).
(13)平凡图：只有一个结点的图（1 , 0）.

 

1.2节点的次数

1.2.1定义

在有向图 G 中，对于任何结点 v，
①以 v 为始点的边的条数，称为结点 v 的引出次数（出度），记作 deg⁺(v) ；
②以 v 点为终点的边的条数称为 v 的引入次数（入度），记作 deg^-(v) ；
③结点 v 的引入次数和引出次数之和称为结点 v 的次数（度数），记作 deg(v)，即
deg(v) = deg⁺(v) + deg^-(v) .

 

对于无向图：

结点 v 的度数等于与该结点 v 相关联的边的条数，也记为 deg(v) 。

 

正则图：所有结点的度数均相同的简单无向图。

例如

 

 1.2.2定理

定理1

设 G 是一个 (n , m) 图，它的结点集合为 V ={ v1 , v2 , … , vn } ，则

即所有结点度数的总和等于边数的两倍。

 

推论：

在任何图中，
(1) 所有结点的度数之和必为偶数；
(2) 度数为奇数的结点必有偶数个。

 

定理2

在任何有向图中，所有结点的入度之和等于所有结点的出度之和。

 

1.3路与回路

1.3.1路径

定义：

在一个图中，从结点 v0 到结点 vn 的一条路径 P 是：图的一个点边交替序列
（ v0 e1 v1 e2 v2 … en vn ）。
即从结点 v0 出发经过某些结点，而最终到达终点 vn 的点边交替序列称为图的路径。

讨论定义：
⑴ 从一个结点到某一结点的路径（若有的话），不一定是唯一的；

例如：设有向图Ｇ，求起始于１，终止于３的路径。

 

专有名词：

(1)穿程全部结点的路径：经过图中所有结点的路径。
(2)简单路径：在某一路径中，如果同一条边仅出现一次的路径。
(3)基本路径：在某一路径中，如果同一顶点仅出现一次的路径。

(4)回路：如果某路径的起点 v0 和终点vn 相重合，则称此路径为回路。
(5)简单回路：通过每条边不超过一次的回路。
(6)基本回路：通过每个结点不超过一次的回路。
(7)非回路图：没有任何回路的简单有向图。

讨论：

①回路不包含自回路。
②不是基本路径的任何路径都会包含回路，而去掉这些回路就可以得到基本路径。

 

1.3.2路径的表示方法

(a)边的序列表示法：设G = <V , E> 为一有向图，vi ∈ V ，则路径可以表示成：
      (< v1 , v2 > , < v2 , v3 > , … , < vk-1 , vk >)
(b)结点表示法： 在非多重图中，也可用顶点序列 (v1 , v2 , … , vk ) 表示路径。

1.3.3路径长度

 若两个结点之间有一条路经Ｐ，则路径 P 的长度|Ｐ|＝Ｐ中边的条数。

 

1.4图的性质

1.4.1可达性

定义： 

设图Ｇ为简单有向图，且 vi , vj V，若从 vi 到 vj 存在任何一条路径的话，则称 vi 到 vj 是可达的

 注：

可达性一定满足：自反性；可传递性

 

定义：

 从 vi 到 vj 的最短路径的长度称为距离，并记作： d<vi , vj> 

讨论定义：
(1) d<vi , vi> = 0
(2) d<vi , vj> ≥ 0
(3) d<vi , vj> + d<vj , vk> ≥ d<vi , vk>
(4)规定：若 vi 到 vj 是不可达的，则d<vi , vj> = ∞.
(5) 在有向图中，若 vi 到 vj 是可达的，且 vj 到 vi 也是可达的，
     但 d<vi,vj> 不一定等于 d<vj, vi>。

例如

d< c, a > = 1,
d< a, c > = 2

 

1.4.2联通性

定义：

 对于无向图 G，如果任何两个结点是相互可达的，则称图G是连通的

 对于有向图来讲，如果两结点均是互相可达的，则称此图是强连通的

 若图中任何结点偶对中至少有一点到另一结点是可达的，则称此图是单侧连通的

 对于简单有向图的伴随无向图（底图），若是连通的，则称此图为弱连通的

注：伴随无向图即为去掉箭头方向的图。

 定理：

一个有向图是强连通的充要条件是它包含一个回路，且该回路至少包含每个结点一次

 

定义：

设G = <V , E>为一简单有向图，且Ｇ’是Ｇ的子图。

对于某一性质而言，若没有其他包含Ｇ’的子图具有这种性质，

则称子图Ｇ’是相对于该性质的极大子图。

具有强连通性质的极大子图Ｇ’称为强分图；
具有单侧连通性质的极大子图Ｇ’称为单侧分图；
具有弱连通性质的极大子图Ｇ’称为弱分图。

定理：

在任一简单有向图Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞中，有向图的每一个结点恰好处于一个强分图之中。

 

1.5图的矩阵表示

矩阵是研究图的有关性质的最有效的工具，可运用图的矩阵运算求出图的路径、回路和其它一些性质

1.5.1图的邻接矩阵表示

定义：

设G = <V , E>是简单有向图，其中V={v1, v2, … , vn}。定义一个 nn 的矩阵 A，并把其中各元素 aij 表示成：

则称矩阵 A 为图 G 的邻接矩阵。

例如：设图 G = <V , E>
如图所示

则图 G 的邻接矩阵为

 

讨论定义：

⑴ 图G的邻接矩阵中的元素为0和1，
∴又称为布尔矩阵；

⑵ 图G的邻接矩阵中的元素的次序是无关紧要的，

只要做 行和行、列和列的交换，则可得到相同的矩阵。

∴若有二个简单有向图，则可得到二个对应的邻接矩阵，

若对某一矩阵做行和行、列和列之间的交换后得到和另一矩阵相同的矩阵，则此二图同构。

⑶ 当有向图中的有向边表示关系时，邻接矩阵就是关系矩阵；
⑷ 零图的邻接矩阵称为零矩阵，即矩阵中的所有元素均为0；

⑸ 在图的邻接矩阵中，
①行中1的个数就是行中相应结点的引出次数（出度）.
②列中1的个数就是列中相应结点的引入次数（入度）.

 

1.5.2 矩阵的计算

设有向图 G = <V , E>的邻接矩阵为 A，

则G的逆图 = <V , > 的邻接矩阵就是 A^T。

 

 

1.5.2.1AA^T 的元素的意义

设有向图 G = <V , E> 的邻接矩阵为 A，并令 B = AA^T，则

 

分析：元素 a_ik = 1 意味着存在边<vi , vk> .
　　元素 a_jk = 1 意味着存在边<vj , vk> .

结论：如果从结点 vi 和 vj 两者引出的边，能共同终止于某些结点 vk ，则这些终止结点 vk 的数目就是 bij 的值，

　　特别地，当 i = j 时，元素 b_ii 的值就是结点 vi 的引出次数。

 

主对角线上的数，表示结点 i 的引出次数。

1.5.2.2A^TA 的元素的意义

设有向图 G = <V , E> 的邻接矩阵为 A，并令 B = A^TA，则

 

分析：元素 aki = 1 意味着存在边<vk , vi> .
　　元素 akj = 1 意味着存在边<vk , vj> .

结论：如果从某些结点 vk引出的边，能同时终止于结点 vi 和 vj ，则这些起始结点 vk 的数目就是 bij 的值，

　　特别地，当 i = j 时，元素 b_ii 的值就是结点 vi 的引入次数。

 

主对角线上的数，表示结点 i 的引入次数

 1.5.2.3A⁽ⁿ⁾ 的元素的意义

 设有向图 G = <V , E> 的邻接矩阵为  A = ( a_ij )，则 A⁽²⁾ 的元素

分析：元素 aik = 1 意味着存在边<vi , vk> .
　　元素 akj = 1 意味着存在边<vk , vj> .

所以，元素 a_ij⁽²⁾ 的值表示从结点 vi 到 vj 存在长度为 2 的不同路径的条数。

结论： A⁽ⁿ⁾ 的元素 a_ij⁽ⁿ⁾ 的值表示从结点 vi 到 vj 存在长度为 n 的不同路径的条数。
特别，对角线上的元素 a_ii⁽ⁿ⁾ 表示经过结点 vi的长度为 n 的不同回路的条数。

 例如

A² 表示 i 和 j 之间具有长度为2的路径数

A³ 表示 i 和 j 之间具有长度为3的路径数

A⁴ 表示 i 和 j 之间具有长度为4的路径数

 

1.5.2.4可达性矩阵

 

注：bij 表示从结点 vi 到 vj 有长度分别为 1，2，3，4 的不同路径总数。
此时， bij ≠ 0，表示从 vi 到 vj 是可达的。
bij = 0，表示从 vi 到 vj 是不可达的。因此， bij 表明了结点间的可达性。

 定义：

设 G = <V , E> 是简单有向图，其中 |V|=ｎ（ n  I+），定义一个 nn 矩阵 P，它的元素为：

则P称为图G的可达性矩阵。

 

注：由矩阵 B_n 可计算出可达性矩阵 P，其方法是：若 B_n中（i , j）元是非“0”元素，则令对应的 p_ij = 1，否则令 p_ij = 0 。

 例如：若

 

则

 

1.5.2.5可完全关联矩阵

 定义：

设无向图G = <V , E> ，
V = {v1 , v2 , … , vn}， E = {e1 , e2 , … , em}，
令 B = ( bij )_n×m，其中

 

则称B为无向图G的完全关联矩阵

讨论定义：

⑴ 完全关联矩阵为布尔矩阵；
⑵ 对应B中行均为0的结点为孤立结点，只有一个“1”的行的结点一定为悬挂的边，且一定不在任一回路中；
⑶ 全部为1的行的结点必定联结图中所有的结点。

例如

 

 

1.6特殊图

1.6.1欧拉图

定义：

欧拉路径：穿程于图 G 的每条边一次且仅一次的路径。
欧拉回路：穿程于图 G 的每条边一次且仅一次的回路。
欧拉图：具有欧拉回路的图。

 

定理：

 无向连通图 G 具有一条欧拉路径，当且仅当 G 具有零个或两个奇数度数的结点。

推论：

无向连通图 G 具有一条欧拉回路（欧拉图），当且仅当图G 所有结点度数全为偶数。

例如：用定理解决哥尼斯堡桥的问题

 

 

定理：

有向连通图 G 具有欧拉回路，当且仅当 G中每一个结点的引入次数等于引出次数，即Deg⁺(v)＝ Deg^-(v) .

 

 定理：

有向连通图 G 具有欧拉路径，当且仅当除了二个结点（其中一个的引入次数比引出次数大１，

另一个的引入次数比引出次数小１）以外的所有结点的引入次数等于引出次数，即Deg⁺(v)＝ Deg^-(v) .

 

 1.6.2 哈密尔顿图

定义

哈密尔顿路径：穿程于无向图 G 的每一个结点一次且仅一次的路径。
哈密尔顿回路：穿程于无向图 G 的每一个结点一次且仅一次的回路。
哈密尔顿图：具有哈密尔顿回路的图。

到目前为止，还没有找到哈密尔顿路径存在的充分必要条件。下面介绍两个定理。

 

定理：

设 G = < V , E > 是具有n 个结点的简单无向图，若在 G 中每一对结点次数之和大于或等于(n-1)，

则在 G 中一定存在一条哈密尔顿路径。

 注：此定理是充分条件，而不是充分必要条件

例如：ｎ＝７，G = <V , E > 见图：每对结点次数为４<７－１＝６，但确有一条汉密尔顿路径。

 

定理:

若图 G = < V , E > 是哈密尔顿图，则对于结点集 V 的每个非空真子集 S 均有
W( G ―S ) ≤ |S| 成立，
其中 W(G－S) 表示从G中删除S后，所得图的连通分图个数； |S| 表示 S 中的结点数。

 

2.树与生成树

2.1无向树（树）

2.1.1定义

连通的且无简单回路的无向图称为无向树，简称树

 

专用名词：
树叶(终点)：树中度数为1的结点。
分枝点(内点)：树中度数大于1的结点。
森林：每个连通分图均为树的无向图。

2.1.2树的性质

设T是一棵树，vi，vj 为T中两个不同的结点，则：
1) vi 和 vj 仅有一条路径相连通。
2) 在T中加一条边{ vi , vj }，则由此而形成 的图，仅有一个回路。

 

在一棵(n , e)树中有e=n-1。(n表示结点数，e表示边数)

设F是由 t 棵树组成的(n , e)森林，则有e=n-t。

 

在结点大于2的(n , e)树中，所有结点的度数之和为2(n-1)

 

在任一(n ≥ 2)的树T中，至少有二片树叶。

 

2.2生成树

2.2.1定义

一个无向图G的生成子图是树TG，则称TG是G的生成树(支撑树)。

讨论定义：

1) G的生成树不是唯一的。

2)如何在连通图G中寻找一棵生成树：

①若G没有循环，则G本身就是一棵树；

②若G仅有一条循环，从此循环中删去一条边，仍保持图的连通性，得到一棵生成树。

③若G有多条循环，则逐个对每条循环重复②中操作，直到打断G中所有循环，得到一棵生成树为止。

 

定理：

任何连通无向图至少有一棵生成树

给定一个连通图，寻找其生成树的数目是图论中树的计数问题

含 n （n>1）个结点的标记完全图K_n 有 n^n-2 棵标记生成树

 

定义：

生成树T中的边称为树枝，不在生成树T中但属于图G的边，称为树T的弦，弦的集合称为树T的补。

在一个连通赋权图中，树枝的权之和为最小的生成树称为最小生成树。

 

Kruskal算法：

设G有n个结点，m条边，先将G中所有边按权的大小次序进行排列，不妨设：

W(e1) < W(e2) < … < W(e_m)，

①k←1，A←Ø。

②若AU{ek}导出的子图中不包含简单循环，则A ← A U{ek}

③若A中已有n-1条边，则算法终止，否则K← K+1，转至②。

这一算法假设G中权均不相同，对于边权任意情况也完全适用。这时求得的最小生成树不唯一

 

2.3有向树与根树

定义：

若有向图在不考虑边的方向时是一棵树，称之为有向树。

定义：

一棵有向树，如果恰有一个结点的入度为0，其余所有结点的入度都为1，则称为根树。入度为0的结点称为根，出度为0的结点称为叶，出度不为0的结点称为分枝点或内点。任何结点的级(高度)是从根出发到该结点的路径长度(边的条数)。

定义：

指明了根树中结点或边的次序的树为有序树。在有序树中，如每个结点有明确级，同一级的结点排在同一行，并明确它们位置，则这样的树称位置树

定义：

在根树中，若每一个结点的出度小于或等于m，则称这棵树为m叉树。若每个结点的出度恰好等于m或零，则称这棵树为完全m叉树，若其所有树叶层次相同，称为正则m叉树。

特别，当m=2时，称为二叉树。

很多实际问题可用二叉树或m叉树表示。任何一棵有序树都可以把它改写为一棵对应的二叉树。

定义：

在有向树T中，由结点V和它的所有子孙所构成的结点子集V’以及从V出发的所有有向路中的边所构成的边集E’组成T的子图

方法：

设有序树T中结点Vi 的r棵子树有根Vi1, Vi2 , …, Vir，其顺序自左向右，则在二叉树T’中Vi1是Vi 的左儿子，Vi2是Vi1的右儿子，Vi3是Vi2的右儿子….，Vir是Vir－1的右儿子。