multi-way search tree
多路查找树（Multway Search Tree）是一种高级的树形数据结构，它
允许每个节点有多个子节点（通常大于等于2）。多路查找树的每个节点
可以存储多个关键字和对应的值。
Classification
2-3树（2-3 Tree）：
2-3树是一种最简单的多路查找树，每个节点可以存储1个或2个关键字，
并有2个或3个子节点。
2-3树的特点是所有叶子节点都在同一层，且根节点到每个叶子节点的
路径长度相等，保持树的平衡性。
B-树（B-tree）：
B-树是一种平衡的多路查找树，每个节点可以存储多个关键字，并有相
应数量的子节点。
B-树的特点是节点的关键字按照升序排列，具有高度平衡的特性，主要
用于在磁盘等外部存储设备中高效存储和检索数据。
B+树（B+ tree）：
B+树是B-树的一种变种，在B-树的基础上做了一些优化，特别适合于范
围查询和顺序访问。
B+树的特点是只有叶子节点存储了真实数据，而内部节点仅用于索引，
叶子节点通过指针连接形成一个链表，方便范围查询。
B树（B-tree）：
B*树也是B-树的一种变种，与B+树类似，它在B-树的基础上做了一些改
进。
B*树通过在非叶子节点中存储部分关键字，扩大了节点的使用率，减少
了磁盘访问次数，并提高了空间和时间的效率。
Trie树（字典树或前缀树）：
Trie树是一种特殊的多路查找树，在处理字符串和前缀匹配的情况下非
常有用。
Trie树的特点是每个节点代表一个字符，从根节点到叶子节点的路径可
以表示一个完整的字符串。
除此以外，还有如2-3-4树、2-3-4-树、B*+树等。每种多路查找树在
平衡性、存储结构、查询性能等方面可能有所不同，选择合适的多路查
找树取决于应用需求和数据特点。对于大规模的外部存储数据，B-树和
B+树是常见的选择；对于高效的字符串匹配和前缀查询，Trie树是一种
有效的数据结构。
detailed introduction
2-3 Tree (2-3 Tree)
2-3树是一种平衡的多路查找树，每个节点可以存储1个或2个关键字，并有2个
或3个子节点。以下是关于2-3树的详细介绍：
Structural features:
2-3树由节点组成，每个节点可以存储1个或2个关键字，这些关键字按升序排列。
每个节点有2个或3个子节点，对应于存储的关键字个数。
所有叶子节点都在同一层，且根节点到每个叶子节点的路径长度相等，保持树的
平衡性。
Insert operation:
1、当要插入一个关键字时，从根节点开始，判断关键字应插入的位置。
2、如果节点已满（即已有两个关键字），则需要进行节点分裂操作。将中间较
大的关键字移动到上一层的父节点，并将两个剩余的关键字分别创建为新的
子节点。
3、如果节点还没有满，则直接将关键字插入到正确的位置。
Delete operation:
当要删除一个关键字时，从根节点开始，找到包含该关键字的节点。
如果该节点是叶子节点，直接删除关键字即可。如果该节点是内部节点，有
几种情况需要处理：
如果该节点有2个关键字，则可以直接删除关键字，不需要做其他操作。
如果该节点有1个关键字：
如果其兄弟节点有2个关键字，则可以借用兄弟节点的一个关键字，并进行
相关的调整。
如果其兄弟节点也只有1个关键字，则需要进行合并操作，将关键字和子节
点合并到一起。
Query operation:
2-3树的查询操作与二叉查找树类似，从根节点开始，根据关键字的大小比较，
向左或向右子节点递归查询，直到找到匹配的关键字或遇到叶子节点。
emphasize
2-3树的特点在于其每个节点可以存储多个关键字，这样可以减少树的高度，提
供更高效的搜索和插入操作。它保持了树的平衡性，且所有叶子节点都在同一层，
这样可以保证较为平衡的查询性能。然而，2-3树的实现和维护操作较为复杂，
导致其并不常用，更常见的是其变种B-树和B+树，它们在2-3树的基础上进行了
一些优化和改进。
Java code implementation
// 2-3树的节点类
class Node {
private int[] keys; // 节点的关键字
private Node[] children; // 子节点数组
private int size; // 节点包含的关键字数量
private boolean isLeaf; // 是否为叶子节点
public Node(boolean isLeaf) {
this.keys = new int[3];
this.children = new Node[4];
this.size = 0;
this.isLeaf = isLeaf;
}
// 从节点中查找关键字的位置
public int findKey(int key) {
for (int i = 0; i < size; i++) {
if (keys[i] == key) {
return i;
} else if (keys[i] > key) {
return -1;
}
}
return -1;
}
// 在节点中插入关键字
public void insertKey(int key) {
if (size == 0) {
keys[0] = key;
size++;
} else {
int i = size - 1;
while (i >= 0 && keys[i] > key) {
keys[i + 1] = keys[i];
i--;
}
keys[i + 1] = key;
size++;
}
}
// 在节点中删除关键字
public void deleteKey(int key) {
int index = findKey(key);
if (index != -1) {
for (int i = index; i < size - 1; i++) {
keys[i] = keys[i + 1];
}
size--;
}
}
// 获取节点的关键字数量
public int getSize() {
return size;
}
// 判断节点是否为叶子节点
public boolean isLeaf() {
return isLeaf;
}
// 获取节点指定位置的子节点
public Node getChild(int index) {
return children[index];
}
// 设置节点指定位置的子节点
public void setChild(int index, Node child) {
children[index] = child;
}
}
// 2-3树类
class TwoThreeTree {
private Node root;
public TwoThreeTree() {
root = null;
}
// 在2-3树中插入关键字
public void insert(int key) {
if (root == null) {
root = new Node(true);
root.insertKey(key);
} else {
Node newNode = insertKey(root, key);
if (newNode != null) {
Node oldRoot = root;
root = new Node(false);
root.setChild(0, oldRoot);
root.setChild(1, newNode);
root.insertKey(newNode.keys[0]);
root.insertKey(oldRoot.keys[0]);
}
}
}
// 在给定的节点中插入关键字
private Node insertKey(Node node, int key) {
if (node.isLeaf()) {
node.insertKey(key);
if (node.getSize() > 2) {
return splitLeaf(node);
}
} else {
int i = node.getSize() - 1;
while (i >= 0 && key < node.getChild(i).keys[0]) {
i--;
}
Node newNode = insertKey(node.getChild(i + 1), key);
if (newNode != null) {
node.insertKey(newNode.keys[0]);
}
B-tree (B-tree)
B-树（B-tree）是一种平衡的多路查找树，广泛应用于在磁盘等外部存储设备中
高效地存储和检索大量数据。以下是关于B-树的详细介绍：
Structural features:
B-树由节点组成，每个节点可以存储多个
关键字，这些关键字按升序排列。
B-树的特点是节点的关键字按升序排列，具有高度平衡的特性。
每个节点通常有多个子节点，最多可以拥有m个子节点，其中m称为B-树的阶数。
Insert operation:
1、当要插入一个关键字时，从根节点开始，判断关键字应插入的位置。
2、如果节点已满，则需要进行节点分裂操作。将中间位置的关键字提升为父节
点，并将节点分裂为两个节点，将剩余的关键字均匀分配到这两个节点中。
3、如果要插入的节点还没有满，则直接将关键字插入到合适的位置。
Delete operation:
1、当要删除一个关键字时，从根节点开始，找到包含该关键字的节点。
2、如果该节点是叶子节点，直接删除关键字即可。如果该节点是内部节点，需
要找到其前驱或后继关键字来替代删除的关键字。
3、在删除操作后，如果节点中的关键字数量过少，则需要进行节点合并或者从
兄弟节点中借用关键字来保持树的平衡。
Query operation:
B-树的查询操作与二叉查找树类似，从根节点开始，根据关键字的大小比较，
向左或向右子节点递归查询，直到找到匹配的关键字或遇到叶子节点。
emphasize
B-树适用于大规模数据存储和查询的场景，尤其是需要在外部存储设备上进行操
作的情况。B-树的高度平衡保证了较为均衡的查询性能，因为从根节点到叶子节
点的路径长度相等或差别不大。B-树的阶数m可以根据具体应用和硬件限制来选
择，通常情况下，较大的阶数有助于减少磁盘访问的次数，提高效率。
B-树的变种B+树在B-树的基础上做了一些优化，将所有数据存储在叶子节点中，
使得范围查询和顺序访问更加高效。因此，在现代数据库系统和文件系统中，
B+树更加常见和广泛应用。
Code
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
class BMinusTreeNode {
public boolean isLeaf; // 是否是叶子节点
public List<Integer> keys; // 节点中存储的关键字
public List<BMinusTreeNode> children; // 节点的子节点
public BMinusTreeNode() {
keys = new ArrayList<>();
children = new ArrayList<>();
}
}
class BMinusTree {
private BMinusTreeNode root;
private int t; // B-树的阶数
public BMinusTree(int degree) {
root = new BMinusTreeNode();
root.isLeaf = true;
t = degree;
}
public void insert(int key) {
// 根节点满了就分裂
if (root.keys.size() == (2 * t)) {
BMinusTreeNode newRoot = new BMinusTreeNode();
newRoot.children.add(root);
splitChild(newRoot, 0, root);
root = newRoot;
}
insertNonFull(root, key);
}
private void insertNonFull(BMinusTreeNode node, int key) {
int index = node.keys.size() - 1;
if (node.isLeaf) {
while (index >= 0 && node.keys.get(index) > key) {
index--;
}
node.keys.add(index + 1, key);
} else {
while (index >= 0 && node.keys.get(index) > key) {
index--;
}
index++;
if (node.children.get(index).keys.size() == (2 * t)) {
splitChild(node, index, node.children.get(index));
if (node.keys.get(index) < key) {
index++;
}
}
insertNonFull(node.children.get(index), key);
}
}
private void splitChild(BMinusTreeNode parent, int index, BMinusTreeNode node) {
BMinusTreeNode newNode = new BMinusTreeNode();
newNode.isLeaf = node.isLeaf;
parent.keys.add(index, node.keys.get(t - 1));
parent.children.add(index + 1, newNode);
for (int i = t; i < 2 * t - 1; i++) {
newNode.keys.add(node.keys.get(i));
}
if (!node.isLeaf) {
for (int i = t; i < 2 * t; i++) {
newNode.children.add(node.children.get(i));
}
}
for (int i = 2 * t - 2; i >= t - 1; i--) {
node.keys.remove(i);
}
if (!node.isLeaf) {
for (int i = 2 * t - 1; i >= t; i--) {
node.children.remove(i);
}
}
}
B+tree (B+tree)
B+树（B+ tree）是B-树的一种变种，特别适用于范围查询和顺序访问。
Structural features:
B+树与B-树类似，由节点组成，每个节点可以存储多个关键字，这些关键字按升
序排列。
B+树的特点是只有叶子节点存储了真实数据，而内部节点仅用于索引。叶子节点
通过指针连接形成一个链表，方便范围查询和顺序访问。
Internal node features:
内部节点存储关键字和指向子节点的指针。
内部节点的关键字按升序排列，用于指示范围查询的起点。
内部节点的指针指向比关键字更大的子节点。
Leaf node features:
叶子节点存储真实数据和指向下一个叶子节点的指针。
叶子节点的关键字按升序排列，支持范围查询和顺序访问。
所有叶子节点通过指针连接成一个链表，便于范围查询和顺序访问。
Insert operation:
当要插入一个关键字时，从根节点开始，找到合适的叶子节点。
如果叶子节点已满，则需要进行节点分裂操作。将中间位置的关键字提升到父节
点，并将两个剩余的部分分别创建为新的叶子节点。
如果叶子节点还没有满，则直接将关键字插入到合适的位置。
Delete operation:
当要删除一个关键字时，从根节点开始，找到包含该关键字的叶子节点。
直接删除叶子节点中的关键字，并更新链表指针。
删除操作后，如果叶子节点的关键字个数过少，则需要从兄弟节点借用关键字或
进行节点合并。
Query operation:
B+树的查询操作与B-树类似，从根节点开始，根据关键字的大小比较，向左或向
右子节点递归查询，直到找到匹配的关键字或遇到叶子节点。
对于范围查询和顺序访问，可以从叶子节点开始，沿着链表进行遍历。
emphasize
B+树的特点在于只有叶子节点存储真实数据，这样使得范围查询和顺序访问更加
高效，因为数据在叶子节点上连续存储，读取连续的数据块比随机读取更快。而
内部节点仅存储索引信息，可以容纳更多的索引，提高了查询效率。B+树的实现
适用于需要高效地处理大量数据的数据库和文件系统，能够提供较高的查询性能
和存储效率。
Code
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
class BPlusTreeNode {
public boolean isLeaf;
public List<Integer> keys;
public List<Object> values;
public List<BPlusTreeNode> children;
public BPlusTreeNode next;
public BPlusTreeNode() {
isLeaf = false;
keys = new ArrayList<>();
values = new ArrayList<>();
children = new ArrayList<>();
next = null;
}
}
class BPlusTree {
private BPlusTreeNode root;
private int m;
public BPlusTree(int m) {
root = new BPlusTreeNode();
root.isLeaf = true;
this.m = m;
}
// 插入操作
public void insert(int key, Object value) {
if (root.keys.size() == m) {
BPlusTreeNode newRoot = new BPlusTreeNode();
newRoot.children.add(root);
splitChild(newRoot, 0, root);
root = newRoot;
}
insertNonFull(root, key, value);
}
// 非满子节点插入操作
private void insertNonFull(BPlusTreeNode node, int key, Object value) {
int index = node.keys.size() - 1;
if (node.isLeaf) {
while (index >= 0 && node.keys.get(index) > key) {
index--;
}
node.keys.add(index + 1, key);
node.values.add(index + 1, value);
node.next = node.next;
} else {
while (index >= 0 && node.keys.get(index) > key) {
index--;
}
index++;
if (node.children.get(index).keys.size() == m) {
splitChild(node, index, node.children.get(index));
if (node.keys.get(index) < key) {
index++;
}
}
insertNonFull(node.children.get(index), key, value);
}
}
// 分裂满子节点
private void splitChild(BPlusTreeNode parent, int index, BPlusTreeNode node) {
BPlusTreeNode newNode = new BPlusTreeNode();
newNode.isLeaf = node.isLeaf;
parent.keys.add(index, node.keys.get(m / 2));
parent.children.add(index + 1, newNode);
newNode.keys.addAll(node.keys.subList((m / 2) + 1, m));
newNode.values.addAll(node.values.subList((m / 2) + 1, m));
if (!node.isLeaf) {
newNode.children.addAll(node.children.subList((m / 2) + 1, m + 1));
node.children.subList((m / 2) + 1, m + 1).clear();
} else {
newNode.next = node.next;
node.next = newNode;
}
node.keys.subList(m / 2, m).clear();
node.values.subList(m / 2, m).clear();
}
// 搜索操作
public List<Object> search(int key) {
return search(root, key);
}
private List<Object> search(BPlusTreeNode node, int key) {
int index = 0;
while (index < node.keys.size() && key > node.keys.get(index)) {
index++;
}
if (index < node.keys.size() && key == node.keys.get(index)) {
return node.values.get(index);
} else if (node.isLeaf) {
return null;
} else {
return search(node.children.get(index), key);
}
}
}
B-tree
B树（B-tree）是一种平衡的多路查找树，主要用于在磁盘等外部存储设备中高
效地存储和检索大量数据。以下是关于B树的详细介绍：
Structural features:
B树由节点组成，每个节点可以存储多个关键字，这些关键字按升序排列。
B树的特点是节点的关键字按升序排列，具有高度平衡的特性。
每个节点通常有多个子节点，最多可以拥有m个子节点，其中m称为B树的阶数。
Insert operation:
当要插入一个关键字时，从根节点开始，判断关键字应插入的位置。
如果节点已满（即已有m-1个关键字），则需要进行节点分裂操作。将中间位置
的关键字提升为父节点，并将节点分裂为两个节点，将剩余的关键字均匀分配到
这两个节点中。
如果要插入的节点还没有满，则直接将关键字插入到合适的位置。
Delete operation:
当要删除一个关键字时，从根节点开始，找到包含该关键字的节点。
如果该节点是叶子节点，直接删除关键字。
如果该节点是内部节点，有几种情况需要处理：
如果该节点有足够多的关键字，则可以直接删除关键字。
如果该节点的关键字数量过少，需要考虑兄弟节点的关键字数量以及兄弟节点合
并的情况。
Query operation:
B树的查询操作与二叉查找树类似，从根节点开始，根据关键字的大小比较，向
左或向右子节点递归查询，直到找到匹配的关键字或遇到叶子节点。
B树适用于大规模数据存储和查询的场景，特别适用于外部存储设备上的数据存
储。其平衡性保证了较为均衡的查询性能，因为从根节点到叶子节点的路径长度
相等或差别不大。B树的阶数m可以根据具体应用和硬件限制来选择，较大的阶数
有助于减少磁盘访问的次数，提高效率。
emphasize
B树的变种B+树在B树的基础上做了一些优化，将所有的数据都存储在叶子节点
中，使得范围查询和顺序访问更加高效。因此，B+树在现代数据库系统和文件
系统中更为常见和广泛应用。、
Code
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
class BTreeNode {
int degree; // B树的阶数
List<Integer> keys; // 节点中存储的关键字
List<BTreeNode> children; // 节点的子节点
boolean isLeaf; // 是否是叶子节点
public BTreeNode(int degree, boolean isLeaf) {
this.degree = degree;
this.isLeaf = isLeaf;
keys = new ArrayList<>();
children = new ArrayList<>();
}
}
class BTree {
BTreeNode root; // B树的根节点
int degree; // B树的阶数
public BTree(int degree) {
this.degree = degree;
root = new BTreeNode(degree, true);
}
// 插入关键字
public void insert(int key) {
if (root.keys.size() == (2 * degree - 1)) {
BTreeNode newRoot = new BTreeNode(degree, false);
newRoot.children.add(root);
splitChild(newRoot, 0, root);
root = newRoot;
}
insertNonFull(root, key);
}
// 在非满节点插入关键字
private void insertNonFull(BTreeNode node, int key) {
int index = node.keys.size() - 1;
if (node.isLeaf) {
while (index >= 0 && key < node.keys.get(index)) {
index--;
}
node.keys.add(index + 1, key);
} else {
while (index >= 0 && key < node.keys.get(index)) {
index--;
}
index++;
if (node.children.get(index).keys.size() == (2 * degree - 1)) {
splitChild(node, index, node.children.get(index));
if (key > node.keys.get(index)) {
index++;
}
}
insertNonFull(node.children.get(index), key);
}
}
// 分裂子节点
private void splitChild(BTreeNode parent, int index, BTreeNode node) {
BTreeNode newNode = new BTreeNode(degree, node.isLeaf);
parent.keys.add(index, node.keys.get(degree - 1));
parent.children.add(index + 1, newNode);
for (int i = 0; i < degree - 1; i++) {
newNode.keys.add(node.keys.get(i + degree));
if (!node.isLeaf) {
newNode.children.add(node.children.get(i + degree));
}
}
if (!node.isLeaf) {
newNode.children.add(node.children.get(2 * degree - 1));
}
for (int i = degree - 1; i >= 0; i--) {
node.keys.remove(i + degree - 1);
if (!node.isLeaf) {
node.children.remove(i + degree);
}
}
}
// 搜索关键字
public boolean search(int key) {
return search(root, key);
}
private boolean search(BTreeNode node, int key) {
int index = 0;
while (index < node.keys.size() && key > node.keys.get(index)) {
index++;
}
if (index < node.keys.size() && key == node.keys.get(index)) {
return true;
} else if (node.isLeaf) {
return false;
} else {
return search(node.children.get(index), key);
}
}
}
Trie tree (dictionary tree or prefix tree)
Trie树，也被称为字典树或前缀树，是一种用于高效存储和搜索字符串的树型数
据结构。Trie树的主要特点是通过字符串的前缀来进行搜索和匹配。
Structural features:
Trie树由根节点和一系列子节点组成。
根节点不包含任何关键字，每个子节点都表示一个字符，并按字符的顺序连接形
成路径。
从根节点到每个叶子节点的路径都对应一个字符串。
每个节点可以存储额外的信息，如词频或附加数据等。
Insert operation:
当要插入一个字符串时，从根节点开始，逐个字符按顺序插入。
如果某个字符对应的子节点不存在，则创建一个新的子节点。
插入字符串的最后一个字符后，将当前节点标记为一个单词的结束。
Search operation:
当要搜索一个字符串时，从根节点开始，逐个字符按顺序匹配。
如果某个字符对应的子节点存在，则继续匹配下一个字符。
如果匹配遇到缺失的字符或到达某个节点后没有子节点，则表示字符串不在Trie
树中。
如果匹配成功并且在Trie树中找到最后一个字符，则表示字符串存在于Trie树中。
Delete operation:
当要删除一个字符串时，从根节点开始，逐个字符按顺序遍历。
如果遍历过程中发现某个字符对应的子节点不存在，则表示字符串不存在于Trie
树中。
如果遍历成功，并到达字符串的最后一个字符，将当前节点的结束标记取消。
如果遍历成功，但还存在其他相关字符串（例如，删除"abc"但还有"abcd"），
可以保留当前节点以表示其他相关字符串。
advantage:
搜索的时间复杂度与字符串长度无关，仅与Trie树的高度相关，通常比哈希表更
高效。
可以高效地搜索具有相同前缀的字符串集合。
对于字符串的前缀匹配和自动补全，Trie树可以提供高效的结果。
shortcoming:
空间消耗较大，尤其在处理大量长字符串时。为了缓解这个问题，可以使用压缩
的Trie树，如压缩前缀树（Patricia树）或Trie树的变种来减少存储空间。
Code
class TrieNode {
private TrieNode[] children;
private boolean isEndOfWord;
public TrieNode() {
children = new TrieNode[26]; // 26个英文字母
isEndOfWord = false;
}
public TrieNode getChild(char ch) {
return children[ch - 'a'];
}
public void setChild(char ch, TrieNode node) {
children[ch - 'a'] = node;
}
public boolean isEndOfWord() {
return isEndOfWord;
}
public void setEndOfWord(boolean isEndOfWord) {
this.isEndOfWord = isEndOfWord;
}
}
class Trie {
private TrieNode root;
public Trie() {
root = new TrieNode();
}
public void insert(String word) {
TrieNode node = root;
for (char ch : word.toCharArray()) {
if (node.getChild(ch) == null) {
node.setChild(ch, new TrieNode());
}
node = node.getChild(ch);
}
node.setEndOfWord(true);
}
public boolean search(String word) {
TrieNode node = findNode(word);
return node != null && node.isEndOfWord();
}
public boolean startsWith(String prefix) {
TrieNode node = findNode(prefix);
return node != null;
}
private TrieNode findNode(String str) {
TrieNode node = root;
for (char ch : str.toCharArray()) {
node = node.getChild(ch);
if (node == null) {
return null;
}
}
return node;
}
}
Example of use
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Trie trie = new Trie();
trie.insert("apple");
trie.insert("banana");
trie.insert("grape");
System.out.println(trie.search("apple")); // 输出: true
System.out.println(trie.search("orange")); // 输出: false
System.out.println(trie.startsWith("app")); // 输出: true
System.out.println(trie.startsWith("ban")); // 输出: true
System.out.println(trie.startsWith("grap")); // 输出: true
}
}