I learned about the knapsack problem before, but I almost forgot it now (unfortunately I didn't write a blog summary before), and now I will review it again with an example.
Example 1:
Backpack 1
Time Limit: 2000/1000ms (Java/Others)
Problem Description:
There are n items whose weight and value are respectively Wi and Vi. Now select items whose total amount does not exceed W from these items, and find the maximum value of the sum of all the solutions.
Input:
The input contains multiple sets of test cases, each of which begins with a two-digit integer n, W (1<=n<=10000, 1<=W<=1000) , followed by n lines, each line has two integers Wi and Vi (1<=Wi<=10000, 1<=Vi<=100).
Output:
The output is one row, the maximum value of the sum of the values across all scenarios.
Sample Input:
3 4 1 2 2 5 3 7
Sample Output:
9
Attach the AC code and analysis:
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <stack>
#include <queue>
using namespace std;
#define long long ll
int dp[1111];//Create a dp array to store the maximum value w when the remaining w weight is available, that is, dp[w] = v
intmain()
{
int n,w;
int wi[11111];
int vi [11111];
while(cin >> n >> w)
{
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i = 0;i < n;i++)
scanf("%d%d",&wi[i],&vi[i]);
for(int i = 0;i < n;i++)//列举出每个物品
for(int j = w;j >= wi[i];j--)//将剩余重量从大到小排列，不能从小到大列举，因为这样会导致一个物品可能被使用多次
dp[j] = max(dp[j],dp[j-wi[i]]+vi[i]);
printf("%d\n",dp[w]);
}
return 0;
}
例二：
背包2
Time Limit: 2000/1000ms (Java/Others)
Problem Description:
有 n 个重量和价值分别为Wi,Vi的物品，现从这些物品中挑选出总量刚好为 W 的物品 ，求所有方案中价值总和的最大值。
Input:
输入包含多组测试用例，每一例的开头为两位整数 n、W（1<=n<=10000,1<=W<=1000） ，接下来有 n 行，每一行有两位整数 Wi、Vi（1<=Wi<=10000,1<=Vi<=100）。
Output:
输出为一行，即所有方案中价值总和的最大值。若不存在刚好填满的情况，输出“-1”。
Sample Input:
3 4 1 2 2 5 2 1 3 4 1 2 2 5 5 1
Sample Output:
6 -1
这题就是上题的改版，附上AC代码：
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <stack>
#include <queue>
using namespace std;
#define long long ll
int dp[11111];
int main()
{
int n,w;
while(~scanf("%d%d",&n,&w))
{
memset(dp,-1,sizeof(dp));//所有值设置为-1，当dp[i]等于-1时，表示暂时没有出现剩余i重量的情况
dp[0] = 0;//设置一个初始值为0
int wi[n],vi[n];
for(int i = 0;i < n;i++)
scanf("%d%d",&wi[i],&vi[i]);
for(int i = 0;i < n;i++)
for(int j = w;j >= wi[i];j--)
if(dp[j-wi[i]] != -1)
dp[j] = max(dp[j],dp[j-wi[i]]+vi[i]);
printf("%d\n",dp[w]);
}
return 0;
}
例3：
背包3
Time Limit: 2000/1000ms (Java/Others)
Problem Description:
有 n 种（每一种有无数个）重量和价值分别为Wi,Vi的物品，现从这些物品中挑选出总 量不超过 W 的物品，求所有方案中价值总和的最大值。
Input:
输入包含多组测试用例，每一例的开头为两位整数 n、W（1<=n<=10000,1<=W<=1000） ，接下来有 n 行，每一行有两位整数 Wi、Vi（1<=Wi<=10000,1<=Vi<=100）
Output:
输出为一行，即所有方案中价值总和的最大值。
Sample Input:
3 4 1 2 2 5 3 7 3 5 2 3 3 4 4 5
Sample Output:
10 7
这题跟第一题类似，如果理解第一题为什么是把剩余重量从大到小排列，就能理解为什么只要这题从小到大排列即可AC
附上AC代码：
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <stack>
#include <queue>
using namespace std;
#define long long ll
int dp[11111];
int main()
{
int n,w;
while(~scanf("%d%d",&n,&w))
{
memset(dp,0,sizeof(dp));
int wi[n],vi[n];
for(int i = 0;i < n;i++)
scanf("%d%d",&wi[i],&vi[i]);
for(int i = 0;i < n;i++)
for(int j = wi[i];j <= w;j++)//剩余重量从小到大就能重复利用每个物品，从大到小就只能利用一次
dp[j] = max(dp[j],dp[j-wi[i]]+vi[i]);
printf("%d\n",dp[w]);
}
return 0;
}
例4：
背包4
Time Limit: 2000/1000ms (Java/Others)
Problem Description:
有 n 个重量和价值分别为Wi,Vi的物品，现从这些物品中挑选出总量不超过 W 的物品，求所有方案中价值总和的最大值。
Input:
输入包含多组测试用例，每一例的开头为两位整数 n、W;接下来有 n 行，每一行有两位整数 Wi、Vi 其中： 1<=n<=100 1<=W<=1000,000,000 1<=Wi<=10,000,000 1<=Vi<=100。
Output:
输出为一行，即所有方案中价值总和的最大值。
Sample Input:
4 5 2 3 1 2 3 4 2 2 4 10000000 2 3 2 2 3 3 1 2
Sample Output:
7 10
这题需要转换下思维，因为按照前面的方法，重量太大，肯定会超时，不过，相对而言，价值却变小了。如果理解了前面几题，并转换了思维，这题应该不难。
附上AC代码：
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <stack>
#include <queue>
using namespace std;
#define long long ll
int dp[11111];
int main()
{
int n,w;
while(~scanf("%d%d",&n,&w))
{
for(int i = 0;i < 10005;i++)
dp[i] = 1111111111;
dp[0] = 0;
int wi[n],vi[n];
for(int i = 0;i < n;i++)
scanf("%d%d",&wi[i],&vi[i]);
for(int i = 0;i < n;i++)
for(int j = 10005;j >= vi[i];j--)
if(dp[j-vi[i]] != 1111111111 && dp[j-vi[i]]+wi[i] <= w)
dp[j] = min(dp[j],dp[j-vi[i]]+wi[i]);
for(int i = 10004;i >= 0;i--)
if(dp[i] != 1111111111)
{
printf("%d\n",i);
break;
}
}
return 0;
}