1601. 最多可达成的换楼请求数目 : 二进制枚举运用题

「这是我参与2022首次更文挑战的第 42 天，活动详情查看：2022首次更文挑战」

题目描述

这是 LeetCode 上的 1601. 最多可达成的换楼请求数目 ，难度为困难。

Tag : 「二进制枚举」

我们有 n 栋楼，编号从 0 到 n - 1 。每栋楼有若干员工。由于现在是换楼的季节，部分员工想要换一栋楼居住。

给你一个数组 $requests$ ，其中 $requests[i] = [from_i, to_i]$ ，表示一个员工请求从编号为 $from_i$ 的楼搬到编号为 $to_i$ 的楼。

一开始所有楼都是满的，所以从请求列表中选出的若干个请求是可行的需要满足每栋楼员工净变化为 $0$ 。意思是每栋楼离开的员工数目等于该楼搬入的员工数数目。比方说 $n = 3$ 且两个员工要离开楼 $0$ ，一个员工要离开楼 $1$ ，一个员工要离开楼 $2$ ，如果该请求列表可行，应该要有两个员工搬入楼 $0$ ，一个员工搬入楼 $1$ ，一个员工搬入楼 $2$ 。

请你从原请求列表中选出若干个请求，使得它们是一个可行的请求列表，并返回所有可行列表中最大请求数目。

示例 1：

输入：n = 5, requests = [[0,1],[1,0],[0,1],[1,2],[2,0],[3,4]]

输出：5
解释：请求列表如下：
从楼 0 离开的员工为 x 和 y ，且他们都想要搬到楼 1 。
从楼 1 离开的员工为 a 和 b ，且他们分别想要搬到楼 2 和 0 。
从楼 2 离开的员工为 z ，且他想要搬到楼 0 。
从楼 3 离开的员工为 c ，且他想要搬到楼 4 。
没有员工从楼 4 离开。
我们可以让 x 和 b 交换他们的楼，以满足他们的请求。
我们可以让 y，a 和 z 三人在三栋楼间交换位置，满足他们的要求。
所以最多可以满足 5 个请求。
复制代码

示例 2：

输入：n = 3, requests = [[0,0],[1,2],[2,1]]

输出：3

解释：请求列表如下：
从楼 0 离开的员工为 x ，且他想要回到原来的楼 0 。
从楼 1 离开的员工为 y ，且他想要搬到楼 2 。
从楼 2 离开的员工为 z ，且他想要搬到楼 1 。
我们可以满足所有的请求。
复制代码

示例 3：

输入：n = 4, requests = [[0,3],[3,1],[1,2],[2,0]]

输出：4
复制代码

提示：

$1 <= n <= 20$
$1 <= requests.length <= 16$
$requests[i].length == 2$
$0 <= fromi, toi < n$

二进制枚举

为了方便，我们令 $requests$ 的长度为 $m$ 。

数据范围很小， $n$ 的范围为 $20$ ，而 $m$ 的范围为 $16$ 。

根据每个 $requests[i]$ 是否选择与否，共有 $2^m$ 种状态（不超过 $70000$ 种状态）。我们可以采用「二进制枚举」的思路来求解，使用二进制数 $state$ 来表示对 $requests[i]$ 的选择情况，当 $state$ 的第 $k$ 位为 $1$ ，代表 $requests[k]$ 被选择。

我们枚举所有的 $state$ 并进行合法性检查，从中选择出包含请求数的最多（二进制表示中包含 $1$ 个数最多）的合法 $state$ ，其包含的请求数量即是答案。

其中统计 $state$ 中 $1$ 的个数可以使用 lowbit，复杂度为 $O(m)$ ，判断合法性则直接模拟即可（统计每座建筑的进出数量，最后判定进出数不相等的建筑数量是为 $0$ ），复杂度为 $O(m)$ ，整体计算量为不超过 $2*10^6$ ，可以过。

代码：

class Solution {
    int[][] rs;
    public int maximumRequests(int n, int[][] requests) {
        rs = requests;
        int m = rs.length, ans = 0;
        for (int i = 0; i < (1 << m); i++) {
            int cnt = getCnt(i);
            if (cnt <= ans) continue;
            if (check(i)) ans = cnt;
        }
        return ans;
    }
    boolean check(int s) {
        int[] cnt = new int[20];
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < 16; i++) {
            if (((s >> i) & 1) == 1) {
                int a = rs[i][0], b = rs[i][1];
                if (++cnt[a] == 1) sum++;
                if (--cnt[b] == 0) sum--;
            }
        }
        return sum == 0;
    }
    int getCnt(int s) {
        int ans = 0;
        for (int i = s; i > 0; i -= (i & -i)) ans++;
        return ans;
    }
}
复制代码

时间复杂度：令 $m$ 为 $requests$ 长度，共有 $2^m$ 种选择状态，计算每个状态的所包含的问题数量复杂度为 $O(m)$ ，计算某个状态是否合法复杂度为 $O(m)$ ；整体复杂度为 $O(2^m * m)$
空间复杂度： $O(n)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1601 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：github.com/SharingSour… 。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。