[CF1119G]Get Ready for the Battle

题目

传送门 to CF

题意概要
有 $m$ 个敌人，血量分别为 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ 。你有 $n$ 个士兵，每个士兵每轮可以造成一点伤害（使一个敌人血量减小一）。现在你要把它们划分成 $m$ 个小队（小队可以没有人），然后为每个小队分别选择 $t$ 个敌人，这个小队中的所有人会分别对这 $t$ 个敌人各自造成一点伤害。请问，在能够使得所有敌人的血量 $a_i^{\prime }⩽0$ 的前提下，$t$ 最小是多少？输出方案。

方案的输出方法：先输出 $t$，然后输出 $s_1,s_2,\dots ,s_m$ 表示每个小队的人数。显然 ${\sum }_{i=1}^m{s}_i=n$ 且 $s_i⩾0$ 。最后输出 $t$ 行，第 $i$ 行有 $m$ 个整数，分别代表每个小队选择的第 $i$ 次攻击对象。

数据范围与提示
$m⩽n⩽10^6$ 且 ${\sum }_{i=1}^m{a}_i⩽10^6$ 。提示一：认真阅读题面。提示二：不会因为输出量过大导致输出超时吗？

思路

不愧是 $CF(\text{Construction Federation})$ 的 $3100$ 构造题，毫不含糊……我在这道题上花费了 $2.5h$，还是只骗了 $80$ 分，泪目了……

我一开始花了 $0.5h$ 想一个错误的题面（这也是 提示一 的来源）。一定要注意到，敌人数量和分组数量相同！毫无疑问这是一个重要条件。否则的话，你就会像我一样，想到 $m=1$ 时只分一组，但是有若干敌人，显然取不到 下界
$$\lceil \frac{{\sum }_{i=1}^m{a}_i}{n}\rceil$$
结果仔细读题，发现这个反例是假的。又随便找了几个例子，感觉这个下界总是可以取到的，目标变为构造出这个解！$\mathrm{B}\mathrm{t}\mathrm{w}$，我以前做的构造题都是这种 “找到下界直接构造” 的题，所以说我就直接选择相信下界了……

贪心地想，我们知道了 $t$，只要让组数最小就行。那么我们就每次选一个最大的 $x$ 使得 $\sum \lfloor \frac{a_i}{x}\rfloor ⩾t$，也就是最大的一个可以打 $t$ 次而不浪费的分组大小。然后直接打。很可惜的是，我们没有理由相信这是正确的¹。

从一种更 $\text{constructive}$ 的角度入手——是不是说，我们可以用 $i$ 组几乎荡平前 $i$ 个人，然后拓展到 $(i+1)$ 组消灭 $(i+1)$ 个人呢？这个思路看上去就很好，也很符合正常逻辑；可是还是走不通。这时候过去 $2h$ 了吧？我还是蛮郁闷的——条条大路通死胡同！太糟了！

上面不过寥寥几段文字，看上去极平淡、极简单；实际上这样的试错是漫长而烦躁的。最讨厌的是，没有任何动机。不像这道题，能够很明显地说出一种贪心的估值；而且你直接告诉我们如何分组，我也不知道怎样构造解。反着走走不动，正着走走不通，你让我做啥咧！

我还没忘了这招：从最小的情况开始考虑。之前画过 $m=4$ 的情况，是试图用 “拓展法” 求解；现在我直接画最小的 $m=2$ 。显然我要选出一组，然后一直打第一个敌人，画到柱形图上，就是一个柱形不断重复去覆盖第一个敌人的柱形；到最后一步了，怎么办？为了不浪费，就要 把第二个人接上去。于是把第二个人的柱形跟第一个人的柱形相拼接起来……

我的天哪！我画出了什么？这个结构的得出，实在出乎我的意料。这个结构告诉我们：沿着敌人柱形的缝隙，将 $n$ 切开 就是答案！

我重新描述一下这个图：将长度为 $n$ 的区间不断重复，放在第二行，第一行是长度依次为 $a_i$ 的区间。分组相当于将 $n$ 割裂，目标是每一组都唯一属于第一行的某个区间（攻击一个敌人）。那么只要沿着 $a_i$ 的间隙，将 $n$ 割开，上面的条件就得到了满足！

一共只有 $(m-1)$ 个间隙，最多切成 $m$ 组。不足 $m$ 组用 $s_i=0$ 的空组补齐。

时间复杂度 $\mathcal{O}(n+m+{\sum }_{i=1}^m{a}_i)$，其中 ${\sum }_{i=1}^m{a}_i$ 是输出的复杂度。

代码

然而，考场代码中，我将最后一个前缀和也当成了 “分割点”，然后就得了 $80pts$，我真的郁闷啊……

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <vector>
using namespace std;
# define rep(i,a,b) for(int i=(a); i<=(b); ++i)
# define drep(i,a,b) for(int i=(a); i>=(b); --i)
typedef long long llong;
inline int readint(){
    
    
	int a = 0, c = getchar(), f = 1;
	for(; !isdigit(c); c=getchar())
		if(c == '-') f = -f;
	for(; isdigit(c); c=getchar())
		a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);
	return a*f;
}
inline void writeint(int x){
    
    
	if(x > 9) writeint(x/10);
	putchar(char((x%10)^48));
}

const int MAXN = 1000006;
bool cut[MAXN]; int b[MAXN];
int a[MAXN], top;
int main(){
    
    
	int n = readint(), m = readint();
	rep(i,1,m){
    
    
		a[i] = readint()+a[i-1];
		if(i != m) cut[a[i]%n] = true;
	}
	cut[n] = true; // the last end
	for(int i=1,lst=0; i<=n; ++i)
		if(cut[i]) b[++ top] = i-lst, lst = i;
	while(top != m) b[++ top] = 0;
	const int tot = (a[m]+n-1)/n;
	a[m] = tot*n+1; // avoid overflow
	printf("%d\n%d",tot,b[1]);
	rep(i,2,m) putchar(' '), writeint(b[i]);
	putchar('\n'); int p = 1, now = 0;
	for(int round=1; round<=tot; ++round){
    
    
		for(int i=1; i<=m; ++i){
    
    
			writeint(p), putchar(' ');
			if((now += b[i]) == a[p]) ++ p;
		}
		putchar('\n'); // end of line
	}
	return 0;
}

后记

我尚不清楚，那个贪心做法究竟是正确还是错误的；但是旧神 $\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{r}\mathsf{e}\mathsf{W}\mathsf{i}\mathsf{n}\mathsf{g}\mathsf{B}\mathsf{i}\mathsf{r}\mathsf{d}$ 直接把它切了！蓝条没空之前「卷毛句」绝不后退！

---

1. 但是有人选择了相信一种更疯狂、更美好的可能性。然后 $\mathsf{O}\mathsf{U}\mathsf{Y}\mathsf{E}$ 就过了…… ↩︎