LeetCode4. 寻找两个正序数组的中位数

题意：
给定长度为$n$的数组$A$和长度为$m$的数组$B$，均为正序数组，请你求出这两个数组中所有元素的中位数。
要求：$O(\log (n+m))$的时间复杂度

题解：
两个数组正序合并和得到数组$c$
那么中位数是数组$c$的第$\lfloor \frac{n+m+1}{2}\rfloor$和第$\lfloor \frac{n+m+2}{2}\rfloor$个数的平均值

这里解释下为什么是求数组$c$的第$\lfloor \frac{n+m+1}{2}\rfloor$和第$\lfloor \frac{n+m+2}{2}\rfloor$：$len=n+m$

• 当$len$为奇数，奇数的中位数就是第$\lfloor \frac{len+1}{2}\rfloor$个数，显然$\lfloor \frac{len+1}{2}\rfloor =\lfloor \frac{len+2}{2}\rfloor$
• 当$len$为偶数，偶数的中位数是第$\lfloor \frac{len}{2}\rfloor$和第$\lfloor \frac{len}{2}\rfloor +1($即$\lfloor \frac{len+2}{2}\rfloor )$个数的平均值。

所以问题转换为：求两个正序数组的第$k$大数
考虑分治来求：
答案可能是两个数组的第$k$个，然后拿出一半$half=\lfloor \frac{k}{2}\rfloor$比较，如果$A$数组当前的中间部分小于$B$数组的中间部分，那么$A$的左半部分必然不会成为答案，这样也增加了小于$k$的部分的数量，所以整体的可能答案长度也减少为$k-half$。

注意两个边界（出口）：

• 若可能答案长度已经超过数组$A$的最大索引，则答案只会在$B$中，反之亦然。
• 若可能答案长度为$1$，那么可以直接比较两者

代码：

class Solution {
    
    
public:
    
    double dfs(vector<int>& A, vector<int>& B, int stA, int stB, int k) {
    
    
        if(stA >= A.size()) return B[stB + k - 1];
        if(stB >= B.size()) return A[stA + k - 1];
        if(k == 1) return min(A[stA], B[stB]);
        
        int half = k / 2;
        int vA = stA + half - 1 < A.size() ? A[stA + half - 1] : INT_MAX;
        int vB = stB + half - 1 < B.size() ? B[stB + half - 1] : INT_MAX;
        if(vA < vB) return dfs(A, B, stA + half, stB, k - half);
        else return dfs(A, B, stA, stB + half, k - half);
    }
    
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& A, vector<int>& B) {
    
    
        int len = A.size() + B.size();
        return dfs(A, B, 0, 0, (len + 1) / 2) * 0.5 + dfs(A, B, 0, 0, (len + 2) / 2) * 0.5;
    }
};