01背包问题 java完整输入输出代码

背包问题总结

1. 01背包问题

有 $N$ 件物品和一个容量是 $V$的背包。每件物品只能使用一次。

第 $i$ 件物品的体积是$v_i$，价值是 $w_i$。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数$N，V$，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 $N$ 行，每行两个整数 $v_i,w_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

$0<N,V\le 10000<N,V\le 1000$
$0<v_i,w_i\le 10000<v_i,w_i\le 1000$

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

分析过程：

1. 定义$f(i,j)$表示第$1到i$个物品（包含第$1$个和第$i$个物品）满足总体积不超过$j$的方案价值量

2. 那么$f(i,j)$可以表示为两部分：

   • 第一部分：不包含第$i$个物品的
   • 第二部分：包含第$i$个物品的

   对于第一部分，我们可以看成是第$1到（i-1）$个（包含第$1$个和第$i-1$个物品），那么就可以表示成为$f(i-1,j)$

   对于第二部分，我们可以看成是前面可以任选，但是后面也一定要携带上第$i$个物品，因此可以看成是前面$i-1$个物品，然后占用的体积是$j-v[i]$,然后加上第$i$件物品的价值量$w[i]$，如下列式子：

   $f(i-1,j-v[i])+w[i]$

   然后最终的最大值可以表示为

   ​ $f(i,j)=Math.max(f(i-1,j),f(i-1,j-v[i])+w[i])$

   因此可以用二维的数组来表示这种状态。

   不过一般这种二维dp的我们可以将其优化成一维dp的，仔细观察上式，我们可以发现只需要记录不包含第$i$个物体的最大价值量和记录包含第$i$个物体的最大价值量，因此，可以考虑用一个

   ​ $f(j)=Math.max(f(j),f(j-v[i])+w[i])$

   一维数组来表示。考虑到数组下标要有意义即大于0，因此我们需要保证$0\le j-v[i]$。

完整的Java代码如下：

import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main {
    
    
    
    private static int n;
    private static int m;
    private static int[] v = new int[1010];
    private static int[] w = new int[1010];
    private static int[] f = new int[1010];
    
    public static void main(String[] args) throws IOException {
    
    
        BufferedReader reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        BufferedWriter writer = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
        
        String[] num = reader.readLine().split(" ");
        int n = Integer.parseInt(num[0]);
        int m = Integer.parseInt(num[1]);
        
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
            String[] arr = reader.readLine().split(" ");
            v[i] = Integer.parseInt(arr[0]);
            w[i] = Integer.parseInt(arr[1]);
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
            for (int j = m; j >= v[i]; j--) {
    
    
                f[j] = Math.max(f[j],f[j - v[i]] + w[i]);
            }
        }
        writer.write(f[m] + "\n");
        writer.flush();
        writer.close();
        reader.close();
    }
    
}