1 回顾： recursive 和 recursively enumerable
1.1 递归可枚举语言 Recursively Enumerable (r.e.) Languages
{L | there is a TM M such that L(M) = L}
——>这种语言的描述是不好的，如果语言w是图灵机TM可接受的，那么我们通过这种定义的方法是可以知道语言w在不在L(M)里面；但如果w不属于L(M)，那么有可能会一直在图灵机里面循环
1.2 递归语言 Recursive Languages （decidable）
Σ*表示在最初tape上的状态
这种语言的描述是很好的，因为无论如何，最终语言w都会停在图灵机M的某一个状态上，也就不会出现2.1的死循环的情况
从另一方面说，递归语言可以想成，在有限的时间/步数内，我们可以判断一个语言w是否被图灵机M接受
2.1可以看成是2.2 的特殊情况
2 universal TM
图灵机Mu的输入是<M>#w，其中：
<M>表示图灵机M的描述（伪代码等形式）
#表示分隔符
w表示某一个语言
2.1 Lu
首先，Lu是 r.e. 因为 对于r.e.的定义“{L | there is a TM M such that L(M) = L}”，我们只需要让Mu为定义中的图灵机M即可
但是，Lu是decidable嘛？不是，因为对于有些input (<M>#w),如果w在M中loop的话，那么 (<M>#w)可能在Mu中也会陷入loop
3 规约
和NP完全问题的规约类似，只是这边不需要在多项式时间内进行规约
从一个语言归约到另一个语言
3.1 规约举例：Lu≤Lhalt
3.1.1 Halting Problem
这里规约的作用是，说明halting problem也是undecidable
这里reduction操作不会再M上执行w，它只生成相应的M’
也就是说，即使M在输入为w的时候陷入loop，reduction也不会陷入loop，因为它只是转化，不进行计算
3.1.2 L374
规约过程：
4 r.e. 语言的性质
4.1 性质的定义
predicate 对每个r.e.中的语言L做一个映射，映射到True还是False
4.2 性质举例
4.3 注意
注意这边说的是语言的性质，不是图灵机/程序的性质
4.4 平凡的属性
如果一个属性是平凡的，那么就表示要么所有语言都满足这个性质，要么所有语言都不满足这个性质——显然，平凡的属性是decidable的
平凡的属性举例：
1）
注：语言的属性是定义在r.e的语言上的，所以这个相当于是所有的语言
2)
这个相当于是空集
3） 
也相当于全集
4.5 莱斯定理
