【Leetcode】218. The Skyline Problem

题目地址：

https://leetcode.com/problems/the-skyline-problem/

给定若干大楼的左右边界及其高度（每个大楼都是矩形），大楼可能有重叠，要求返回一系列点的坐标表示这些大楼的边际线，这些点要从左向右输出，例如，对于相邻的两个点$(a_1,h_1),(a_2,h_2)$，边际线的一部分是$(a_1,a_2,h_1)$，代表区间$[a_1,a_2]$的边际线上的高度是$h_1$。相邻的两个点的高度不应该相同。输入是若干三元组，每个三元组$(l,r,h)$代表$[l,r]$这一段有个高$h$的大楼。例如下图，右图中红色的点的坐标即为所求。

可以用线段树来做，每次读入一个大楼$b$，相当于将$[b[0],b[1]-1]$这一段的高度变为$b[2]$与旧值的更大值，这可以用线段树做。但是注意，由于这题的大楼左右边界的取值范围是$[0,2^{31}-1]$，所以要采用动态开点的方式，而不能一下子把所有节点都开出来，这样，只有叶子才是真正有效的值。并且，如果某个节点的左右儿子都是叶子，且它们的高度相同，则可以将这两个叶子删除，自己高度更新，并且成为新的叶子，这样可以减少节点个数。最后只需要DFS一遍就能知道边界。代码如下：

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;

class Solution {
    
    
    
    class Node {
    
    
        int st, ed, h;
        Node left, right;
        
        public Node(int st, int ed, int h) {
    
    
            this.st = st;
            this.ed = ed;
            this.h = h;
        }
    }
    
    // 如果cur的左右儿子都是叶子并且高度相同，则删除左右儿子，自己高度更新，成为新的叶子
    void pushup(Node cur) {
    
    
        if (cur.left != null && cur.right != null) {
    
    
            if (cur.left.left == null && cur.right.left == null && cur.left.h == cur.right.h) {
    
    
                cur.h = cur.left.h;
                cur.left = cur.right = null;
            }
        }
    }
    
    void update(Node root, int st, int ed, int h) {
    
    
        if (root == null) {
    
    
            return;
        }
        
        if (root.st > ed || root.ed < st) {
    
    
            return;
        }
        
        // 如果是叶子，看一下要不要分裂，如果不需要则直接赋值；否则分裂
        if (root.left == null && root.right == null) {
    
    
            if (st <= root.st && root.ed <= ed) {
    
    
                root.h = Math.max(root.h, h);
                return;
            }
            
            // root.st, st - 1    st, root.ed
            if (root.st < st) {
    
    
                root.left = new Node(root.st, st - 1, root.h);
                root.right = new Node(st, root.ed, root.h);
                update(root.right, st, ed, h);
            } else {
    
    
                root.left = new Node(root.st, ed, root.h);
                root.right = new Node(ed + 1, root.ed, root.h);
                update(root.left, st, ed, h);
            }
        } else {
    
    
        	// 如果不是叶子，则直接更新左右儿子
            update(root.left, st, ed, h);
            update(root.right, st, ed, h);
        }
        
        pushup(root);
    }
    
    Node root;
    int last;
    
    void dfs(Node cur, List<List<Integer>> res) {
    
    
        if (cur == null) {
    
    
            return;
        }
        
        dfs(cur.left, res);
        if (cur.left == null && cur.right == null && cur.h != last) {
    
    
            res.add(Arrays.asList(cur.st, cur.h));
            last = cur.h;
        }
        dfs(cur.right, res);
    }
    
    public List<List<Integer>> getSkyline(int[][] buildings) {
    
    
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
        root = new Node(0, Integer.MAX_VALUE, 0);
        for (int[] b : buildings) {
    
    
            update(root, b[0], b[1] - 1, b[2]);
        }
        
        dfs(root, res);
        return res;
    }
}

时间复杂度$O(n\log n)$，空间$O(n)$。

下面给出离散化的做法。由于区间的取值范围特别大，但区间的个数很少，所以想到离散化的方法。先将所有端点排序，然后去重，接着用静态开点的办法，一次性开出所有点。每次更新的时候，需要二分出离散化后的下标是什么然后在线段树里更新。先将大楼的区间按照高度从小到大排序，接着线段树事实上只是在执行将某段区间变为$x$的操作，可以带懒标记做。代码如下：

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;

public class Solution {
    
    
    
    class Node {
    
    
    	// h是懒标记，表示当前区间要变为h
        int l, r, h;
        
        public Node(int l, int r) {
    
    
            this.l = l;
            this.r = r;
        }
    }
    
    Node[] tr;
    
    void pushdown(int u) {
    
    
        if (tr[u].h > 0) {
    
    
            tr[u << 1].h = tr[u << 1 | 1].h = tr[u].h;
            tr[u].h = 0;
        }
    }
    
    void build(int u, int l, int r) {
    
    
        tr[u] = new Node(l, r);
        if (l == r) {
    
    
            return;
        }
        
        int mid = l + (r - l >> 1);
        build(u << 1, l, mid);
        build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
    }
    
    void modify(int u, int l, int r, int h) {
    
    
        if (l <= tr[u].l && tr[u].r <= r) {
    
    
            tr[u].h = h;
            return;
        }
        
        pushdown(u);
        int mid = tr[u].l + (tr[u].r - tr[u].l >> 1);
        if (l <= mid) {
    
    
            modify(u << 1, l, r, h);
        }
        if (r > mid) {
    
    
            modify(u << 1 | 1, l, r, h);
        }
    }
    
    public List<List<Integer>> getSkyline(int[][] buildings) {
    
    
        Arrays.sort(buildings, (b1, b2) -> Integer.compare(b1[2], b2[2]));
        int[] idx = new int[buildings.length << 1];
        int r = 0;
        for (int[] b : buildings) {
    
    
            idx[r++] = b[0];
            idx[r++] = b[1];
        }
        
        Arrays.sort(idx);
        r = 0;
        for (int i = 0; i < idx.length; i++) {
    
    
            if (r == 0 || idx[i] != idx[r - 1]) {
    
    
                idx[r++] = idx[i];
            }
        }
        
        tr = new Node[r + 1 << 2];
        build(1, 0, r);
        for (int[] b : buildings) {
    
    
            modify(1, Arrays.binarySearch(idx, 0, r, b[0]), Arrays.binarySearch(idx, 0, r, b[1]) - 1, b[2]);
        }
        
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
        dfs(1, res, idx);
        return res;
    }
    
    int last;
    
    void dfs(int u, List<List<Integer>> res, int[] idx) {
    
    
    	// 如果走到叶子，或者当前节点有懒标记，则考虑将该线段的左端点及其高度加入答案
        if (tr[u].l == tr[u].r || tr[u].h > 0) {
    
    
            if (tr[u].h != last) {
    
    
                res.add(Arrays.asList(idx[tr[u].l], tr[u].h));
            }
            
            last = tr[u].h;
            return;
        }
        
        dfs(u << 1, res, idx);
        dfs(u << 1 | 1, res, idx);    
	}
}

时空复杂度一样。