位与字节
1，计算机中存储和处理信息的最小单位是位（比特bit），一个比特的值可以是0或者1
2，数字计算机将信息以一组或一串比特的形式保存在存储器中。如，串01011110表示一个8位的字
3，计算机通过高低电压（高低电位）两个电压等级来存储0和1的状态
4，计算机通常不会每次只对一个二进制位进行操作，而是对一组二进制位进行操作。
5,8个二进制位为一个字节（byte），一些计算机制造商用术语“字”表示16位的值，长字表示32位的值，还有一些制造商用字表示32位的值，用半字表示16位的值
信息表示：一个由二进制1和0组成的串没有任何内在含义。需要程序员赋予它何种含义、
ASCII码表（美国信息交换标准码表）
1，ASCII码表用7位表示一个字符，一共可以表示2^7=128个不同的字符。其中96个特殊字符是可打印字符。其中32个是不可打印字符，用于完成回车、退格、换行等特殊功能
2扩展的ASCII码表：8位的ISO 8859-1拉丁编码。将7位的ISO/ASCII字符集扩展为8位，可以得到两个128个字符的字符集，如果字符的最高位为0，则其余7位代表128个标准ISO/ASCII字符中的一个，如果字符最高位为1，其余7位将表示128个新字符中的任意一个
图像、声音和视觉
数字计算机处理大量表示声音、静态图像和视频的数据。
组成照片的基本单位是像素，每个像素的大小可以使8位（单色）或24位（RGB）
视频作为一串静态图像一次传输，每秒发送60次。
声音通过对波形信号采样。
无损压缩和有损压缩。
数字
1，用来计数的数字（即1,2,3,4,5…）被称为自然数。我们用十进制计数，因为它有0~9共10个符号。并非所有数字都是自然数，还有负数、实数等
2，现代数字系统中，使用位置记数法表示十进制数，每个数位的值或权取决于它在数字中的位置
位置记数法
采用位置记数法，一个数的数值等于它各位值的总和，而每一位的值则是改为的数值乘以它在数中的位置所对应的权
如：十进制1982 = 1103+9*102+8101+2*100
二进制数1.01 = 120+0*2-1+12^-2
注意：十进制位置记数法不能精确表示所有小数，如1/3是0.33333333……3，二进制也是如次
二进制运算
二进制算术运算规则与十进制基本相同，区别是基数不同。
有符号整数
负数可以用多种不同的方式表示，计算机设计者选择了3种方法：符号及值表示法、二进制补码表示法、移码表示法，每种方法都有各自的优缺点。
符号及值表示法
1，一个n位字可以表示从0~2^n-1 共2^n个可能的值。如，一个8位的字可以表示0,1,2，……，254,255
2，表示负数的方法是用它的最高位表示符号，通常符号位为0表示正数，符号位为1表示负数
3，n位有符号的表示范围为-（2^n-1 -1）~+2^n-1 -1），例如，一个8位有符号数的表示-127（11111111）~+127（01111111）之间的整数。
4，有人反对该系统的一个原因是它有两个值都表示0：
00000000 = +0和10000000 = -0
5，符号及值表示法没有被用于整数算术运算中，因为它的加、减法运行需要分为用加法器和减法器实现。符号及值表示法用于浮点算术运算中。
补码运算
(1)，微处理器用二进制补码系统表示有符号整数，它可以将减法运算转换为对减数的补码的加法运算。（将减法转为加法 ）
(2)，一个数与它的补码之和是一个常数。如一个一位十进制与它的补码之和总是9，2的补码 是 7,因为2+7 =9.在n位二进制算术中，数P的补码为Q且P+Q=2^n。
在二进制算术中，求一个数的补码的方法是将其各位取反并加1.
（3）一个n位二进制数N的二进制补码定义为2^n - N。如果N=5=00000101（8位二进制数），则N的补码为2^8-00000101 = 10000000-00000101 = 11111011
将-7加5
00000101+11111001 = 11111110
5+（-7） = -2；
结果为11111110（进位位为0）。也是希望得到的结果-2，即2^8-2 = 11111110
n位二进制算术运算Z=X-Y，如果X加上Y的补码完成运算：Y的补码为2^n - Y，则Z = X+(2^n - Y) = 2^n + (X-Y)。我们得到了需要的结果，X-Y，以及位于最左边的一个并不需要的进位（即2^n），而这个进位被丢弃了。
补码为什么是取反加1
一个n位的二进制数N的补码，被定义为2^n - N，则
2^n -1 - N + 1 = 111……1 - N+ 1
补码的特点
（1） 补码是一个真正的互补系统，因为+X+(-X) =0
（2） 补码0被表示为00……0，是唯一的
（3） 补码的最高位为符号位。如果符号位为0，则该数位正，符号位为1，则该数为负
（4） n位二进制补码数的表示范围为-2(n-1)~2(n-1)-1，对于n =8，补码范围为-128~127
（5） 补码加法和减法使用同样的硬件完成，因为补码减法由被减数的补码实现
运算溢出
5位有符号二进制补码范围为-16~15，如果两个负数相加且结果小于-16，会超出5位二进制补码的范围，如果操作数A和B的符号位相同，但结果的符号位与他们不同，则发生溢出
移位运算
进行移位运算时，一个数所有位都会向左向右移动一位，如将00101100左移一位，变成01011000，右移一位，变成00010110。有些计算机每次可以移动多位
二进制补码正数左移一位等价于该数乘以2.
算术左移：最低位补0，最高位被复制到进位标志中，如11000101左移一位得到10001010
算术右移：最高位补符号位，所有位右移一位。最低位复制到进位标志中。如00100101右移一位得到00010010
无符号二进制乘法
方法一：
（1）将计数器的值置为n
（2）将2n位的部分积寄存器清零
（3）检查乘数的最右位（即最低位），将被乘数与部分积的最低位n位相加
（4）将部分积右移一位
（5） 将乘数右移一位（乘数的最右位被丢弃）
（6）将计数器的值减1，重复步骤c直到n个周期后计数器的值变为0.部分积寄存器的内容就是乘积结果
方法二：快速乘法
使用移位和加法等速度相对较快的操作避免使用乘法。
例如： 10P = 2（22P+P）,即将P左移2次，加上P，再将和左移一次
除法
除法是通过被除数不断地减去除数直到结果为0或小于除数来实现的。减去除数的次数叫做商，最后一次减法的差称为余数。
被除数/除数 = 商+ 余数/除数
浮点数
（1） 浮点数即实数，实数是所有有理数和无理数的集合
（2） 之所以叫做浮点数，是因为小数点在数中的位置并不是固定的。一个浮点数值分为两部分存储：数值以及小数点在数值中的位置
（3） 计算机中的浮点运算结果一般是不确定的，一块芯片上的浮点计算结果也许与另外一块芯片上的不同
（4） 科学记数法：来表示很大或很小的数
（5） 十进制浮点数可以表示为：尾数10指数，如1.23*1020
（6） 二进制浮点数可以被表示为：尾数2指数，如1.011*25
（7） IEEE 754浮点数标准提供3种浮点数表示：32位单精度浮点数、64位双精度浮点数、128位四精度浮点数
规格化浮点数
（1）IEEE 754浮点数的尾数总是规格化的，其范围为1.000…02e到1.111…1*2e，e为指数
（2）规格化浮点数的最高位总是1，规格化使尾数的所有位都是有效的，因而尾数精度最高。
如：0.102^e 规格化为 1.0*2^(e-1)
（3）尾数规格化充分利用了可用的最大精度。如，一个8位非规格化的尾数0.00000101只能有4位有效位，而规格化后的8位尾数1.0100011则有8位有效位。
偏置指数
（1） IEEE 754浮点数的尾数被表示为符号及值的形式，即用一个符号位表示它是正数还是负数。它的指数则用偏置方式表示，即给咱真正的指数加上一个常数。
（2） 假定所用的指数为8位，偏置值位127。如果一个数的指数为0，则被保存为0+127 = 127。如果指数为-2，则被保存为-2+127 = 125.
（3） 实数1010.1111规格化的结果为+1.0101112^3，指数为+3，将被保存为3+127 = 130，即130（10）用二进制表示为10000010
（4） 这种用偏置表示指数的方法优点在于，最小的负指数被表示为0，如果不采用这种方法，0的浮点表示为0.000002^最小负指数。采用偏置指数，0就可以用尾数0和指数0表示
（5） 余码系统：在余码系统中，正的和负的整数都可以作为无符号数存储。为了表示正的或负的整数，一个正整数（称为偏移量）加到每个数字中，将它们统一移到非负的一边。这个偏移量的值是2^(m-1)-1，m是内存单元存储指数的大小
（6） 优点在于在余码系统中的所有整数都是正数，当我们对这些整数进行比较或运算时不需要考虑符号
IEEE（电气和电子工程师协会）浮点数
1，一个32位IEEE 754单精度浮点数可以表示为下面的二进制串
S EEEEEEEE 1.MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM(22个M)
（1）S为符号位，指明这个数是正数还是负数（0为正数，1为负数）
（2）E为8位偏置指数，指出了小数点的位置
（3）M为23位尾数
2，IEEE浮点数的尾数总是规格化的，其值范围在1.00000……0~1.11111……1，除非这个浮点数是0，此时尾数为0.000……0。
3，由于尾数总是规格化的，且最高位总是为1，因此将尾数存入存储器时没有必要保存最高位的1.所以，一个非0的IEEE 754浮点数可定义为：
X = （-1）^S * 2^(E-B) * 1.F
S：符号位
E：偏置量为B的指数
F：尾数的小数部分（实际的尾数为1.F，有个隐含的1）
4，浮点数0被表示为S=0,E=0，M=0（即浮点数0用全0表示）
IEEE浮点数格式
1，ANSI/IEEE 745-1985标准定义了基本的和扩展的浮点数格式，以及一组数量有限的算术运算的规则（加、减、乘、除、平方根、求余和比较）
2，非数（Not a Number，NaN）是IEEE 754标准提供的一个专门符号，代表IEEE 754标准格式所不能表示的数。
3,单精度，指数位为8位，尾数位为23位，总共32位
双精度，指数位为11位，尾数位为52位，总共64位
四精度，指数位为15位，尾数位为111位，总共128位
符号位都是1位，开始位也是1位（但是不保存，都是1）
4，在32位IEEE754单精度浮点数格式中，最大指数E(max) 为+127，最小指数E(min)为-126，而不是+128~-127。E（min）-1(即-127）用来表示浮点0，Emax+1用来表示正/负无穷大或NaN数。
5，下图，描述了IEEE单精度浮点数格式，指数E=0和E=255等特例分别被用于表示浮点0、非规格化小数、正或负无穷大、以及NaN
IEEE浮点数的特点
（1） 浮点数接近0时的特点，浮点数0到下一个规格化的正数和浮点数0到上一个规格化的负数附近有一块禁止区，其中的浮点数都是非规格化的，因此无法被表示为IEEE标准格式。这个数的指数和起始位都是0的区域，也可用来表示浮点数。但是这些数都是非规格化，其精度比规格化的数的精度低，会导致渐进式下溢。
（2） IEEE标准规定，缺省的舍入技术应该向最近的值舍入
（3） IEEE标准规定了4种比较结果，分别是等于、小于、大于和无序（unordered），无序用于一个操作数是NaN数的背景
（4） IEEE标准规定了5种异常
（a）操作数不合法：当程序员使用一些不合法的操作数。如NaN数、与无穷大数相加相减时、求负数的平方根
（b）除数为0
© 上溢：当结果比最大浮点数还大时。处理上溢的方法有终止计算和饱和运算（用最大值作为结果）
（d）下溢：当结果比最小浮点数还小时。也就是说，结果小于2Emin。下溢可以通过将最小浮点数设为0或用一个小于2Emin的非规格化数表示最小浮点数等方式处理
（e） 结果不准确：当某个操作产生舍入错误时
浮点运算
浮点数不能直接相加。
两个浮点数相乘，应将尾数相乘，指数相加
浮点数相加是，应将小数点对齐
为了对齐指数，计算机必须执行下面步骤
（1） 找出指数较小的数
（2） 使两个数的指数相同
（3） 尾数相加减
（4） 如果有必要，将结果规格化
注意：
（1）如果两个指数的差大于P+1，P为尾数的位数，较小的数由于太小而无法影响较大的数，结果实际就等于较大的数
（2）结果规格化时检查指数范围，以分别检测指数下溢或上溢。煮熟下溢会导致结果为0，而指数上溢会造成错误。
舍入和截断误差
截断：，浮点运算可能引起尾数位数的相加，需要保持尾数位数不变的方法。最简单的技术叫作截断。
如：将0.1101101截断为4位尾数的结果为0.1101.截断会产生诱导误差（即误差是由施加在数上的操作计算所引起的），诱导误差是偏置的，因为截断后的数总比截断前小
舍入：舍入是一种更好的减少数的位数的技术。如果丢弃的位的值大于剩余数最低位的一半，将剩余数的最低位加1.
例如：0.1101101 = 0.1101+1 = 0.1110
0.1101011=0.1101
舍入机制：
（1） 最简单的舍入机制是截断或向0舍入
（2） “向最近的数舍入”方法会选择距离该数最近的那个浮点数作为结果。
（3） “向正或负无穷大舍入”方法会选择正或负无穷大方向上最近的有效浮点数作为结果。
（4） 当要舍入的数位于两个连续浮点数的正中时，IEEE舍入机制选择最低位为0的点（即向偶数舍入）
浮点运算和程序员
（1） 整数操作时精确、可重复的，浮点数操作是不精确的。
（2） 考虑表达式z=(x2)-(y2)，x,y,z都是实数。可以将表达式视作（x+y）*(x-y)计算，整数运算可以得到相同结果，但浮点数运算可能得到不同结果。
（3） IEEE要求加、减、乘和除运算结果能够精确计算，并用向偶数舍入的方法将结果舍入为最近的浮点数