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有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。
第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
如果对01背包有着一定的了解后相信对解决完全背包问题流程更清楚。
思考改如何解决以下问题：
1.怎么样来将选择的状态表示出来呢？
2.选择的状态表示出来后又应该怎么计算呢？
简单来说就是解决以下问题：
1.列出状态的表达方式。
2.列出状态方程。
f[i][j]
表达的含义是：从前i个物品选，体积为j的价值最大值。
状态方程可以表示为：
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
///
状态方程的由来：
样例：
v（背包容量）:5
w（价值） v（体积）
2 ----------- 1
4 ----------- 2
8 ----------- 3
15 ----------4
图的解释：相同颜色都是同一层或者是由上一层传递而来
看每一层：
变色的时候就是开始更新的时候，与上一层和本层比教
ex：f[2][2]=max(f[1][2],f[2][2-2]+4);
之后雷同。
我的状态方程含义是：选第i个物品时一个一个的加
与上一层同样体积相比，这一层再选这个物品，看清楚是再选这个物品
一个一个的加。
那么状态转移方程即为：
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
先进行这种操作的思想是作者本身和其老师模拟时作者所想，与acwing y总
有些不同。
那么来看作者代码：
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m;
int v[1100],w[1100];
int f[1100][1100];
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1; i<=n; i++)cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1; i<=n; i++)
{
for(int j=0; j<=m; j++)
{
f[i][j]=f[i-1][j]; //与01背包一样在体积小的时候最大值为上一层。
if(j>=v[i])f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
}
}
cout<<f[n][m]<<endl;
return 0;
}
看过作者01背包的博客肯定会很熟悉，因为这份代码除了状态方程不一样其他都一样。
01背包：
f[i][j]=f[i-1][j];
f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
完全背包：
f[i][j]=f[i-1][j];
f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
其实就是变了一个东西，就是由上一层要，到这一层要。
同样你会发现状态的转移方程都是由上一层的变化而来，只不过有一点是由本层而来，而本层也是由上一层而来，所以可以减少一层维度；
看代码：
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m;
int v[1100],w[1100];
int f[1100];
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1; i<=n; i++)cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1; i<=n; i++)
{
for(int j=0; j<=m; j++)
{
if(j>=v[i])f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
}
}
cout<<f[m]<<endl;
return 0;
}
既然二维的代码都和01背包差不多相同那么，一维也不会差很多：
和01背包相比就是体积的遍历顺序变了，因为完全背包的更新是由
上一层和本层以已经更新的状态相比较。所以大体积更新就是需要
小体积提前更新再更新。
下面是y总的思路：
f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
我是一个一个的装，y总是k个k个的装
看看y总的代码：
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N][N];
int v[N],w[N];
int main()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i = 1 ; i <= n ;i ++)
{
cin>>v[i]>>w[i];
}
for(int i = 1 ; i<=n ;i++)
for(int j = 0 ; j<=m ;j++)
{
for(int k = 0 ; k*v[i]<=j ; k++) //同样但是还是从0个开始，表示不选。
f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
}
cout<<f[n][m]<<endl;
}
y总通过找到规律来进行进一步的优化：
优化过程：
f[i , j ] = max( f[i-1,j] , f[i-1,j-v]+w , f[i-1,j-2*v]+2*w , f[i-1,j-3*v]+3*w , .....)
f[i , j-v]= max( f[i-1,j-v] , f[i-1,j-2*v] + w , f[i-1,j-2*v]+2*w , .....)
由上两式，可得出如下递推关系：
f[i][j]=max(f[i,j-v]+w , f[i-1][j])
有了上面的关系，那么其实k循环可以不要了，核心代码优化成这样：
for(int i = 1 ; i <=n ;i++)
for(int j = 0 ; j <=m ;j++)
{
f[i][j] = f[i-1][j];
if(j-v[i]>=0)
f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
}
至于一维也是一样的。
已经和我的代码差不多一模一样了，，，，，也可以证明我的应该没有错。
在此说明真的是自己想的，不是抄的，只不过有点奇特，，因为学的时候是对着01学的。
参考文献：
题解和说明