欧几里德算法与拓展欧几里德算法及其应用(C语言)

1.欧几里得算法(Euclidean Algorithm)又称辗转相除法，是指用于计算两个非负整数a，b的最大公约数。
计算公式: gcd(a,b) = gcd(b , a mod b)

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

//欧几里德算法
int gcd(int x,int y)
{
    
    
    int maxn,minn;
    maxn=x>y?x:y;
    minn=x>y?y:x;
    while(minn!=0)
    {
    
    
        int r=maxn%minn;
        maxn=minn;
        minn=r;
    }
    return maxn;
}
int main()
{
    
    
    int x,y;
    scanf("%d%d",&x,&y);
    int ans=gcd(x,y);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

2.扩展欧几里得算法（Extended Euclidean algorithm）是欧几里得算法（又叫辗转相除法）的扩展。已知整数x，y，扩展欧几里得算法可以在求得x，y 的最大公约数的同时，能找到整数s、t（其中一个很可能是负数），使它们满足贝祖等式： sx+ty=gcd(x,y) 。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

//a[0]=s  a[1]=t
int a[4];

//拓展欧几里德算法
void extended_euclid(int x,int y)
{
    
    
    int r1,r2,s1,s2,t1,t2;
    r1=x;s1=1;t1=0;
    r2=y;s2=0;t2=1;
    while(r2!=0)
    {
    
    
        int q=r1/r2;
        int tem1=r1-q*r2;
        int tem2=s1-q*s2;
        int tem3=t1-q*t2;
        r1=r2;s1=s2;t1=t2;
        r2=tem1;s2=tem2;t2=tem3;
    }
    a[0]=s1;a[1]=t1;
}
int main()
{
    
    
    int x,y;
    scanf("%d%d",&x,&y);
    extended_euclid(x,y);
    printf("s=%d   t=%d",a[0],a[1]);
    return 0;
}

3.扩展欧几里得算法的应用可以用来计算模反元素(也叫模逆元)。
定义：设m是一个正正整数，a是一个整数，如果存在整数 a’ 使得
aa’ ≡ 1(mod m)，成立，则a叫做模m的可逆元，a’叫做模m逆元。在模m的意义下(即m的完全剩余系中)a’存在且唯一。

//求逆  b%m的逆
int extendedeuclid(int m,int b)
{
    
    
    int a1,a2,a3;
    int b1,b2,b3;
    int t1,t2,t3;
    a1=1;a2=0;a3=m;
    b1=0;b2=1;b3=b;
    while(1)
    {
    
    
        if(b3==0) return 0;
        if(b3==1)
        {
    
    
            if(b2<0) b2=m+b2;
            return b2;
        }
        int q=a3/b3;
        t1=a1-q*b1;t2=a2-q*b2;t3=a3-q*b3;
        a1=b1;a2=b2;a3=b3;
        b1=t1;b2=t2;b3=t3;
    }
    return 0;
}